Номер 21.7, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.7, страница 132.

21.7. a) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \, dx;$

б) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x};$

в) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx;$

г) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x}.$

а) Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

В данном случае, подынтегральная функция $f(x) = \sin x$. Ее первообразная $F(x) = -\cos x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница для пределов интегрирования от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$:

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \, dx = (-\cos x) \Big|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(\frac{\pi}{2}))$.

Зная, что $\cos(\pi) = -1$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:

$(-(-1)) - (-0) = 1 - 0 = 1$.

Ответ: $1$.

б) Необходимо вычислить интеграл $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x}$.

Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ есть $F(x) = \tan x$.

Подставим пределы интегрирования от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{4}$ в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = (\tan x) \Big|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(-\frac{\pi}{4})$.

Так как $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\tan(-x) = -\tan(x)$, то $\tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

Следовательно, $1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $2$.

в) Вычислим интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$.

Первообразная для функции $f(x) = \cos x$ есть $F(x) = \sin x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница для пределов интегрирования от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = (\sin x) \Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2})$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\sin(-x) = -\sin(x)$, то $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.

Таким образом, $1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $2$.

г) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x}$.

Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ есть $F(x) = -\cot x$.

Подставим пределы интегрирования от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{2}$ в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x} = (-\cot x) \Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cot(\frac{\pi}{2})) - (-\cot(\frac{\pi}{4}))$.

Так как $\cot(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\pi/2)}{\sin(\pi/2)} = \frac{0}{1} = 0$ и $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Следовательно, $(-0) - (-1) = 0 + 1 = 1$.

Ответ: $1$.