Номер 21.1, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.1, страница 131.

Вычислите определённый интеграл:

21.1. а) $\int_{-\frac{2}{3}}^{1} x^3 dx;$

б) $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2};$

в) $\int_{-1}^{2} x^4 dx;$

г) $\int_{4}^{9} \frac{dx}{\sqrt{x}}.$

а) Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = x^3$ находится по формуле для степенной функции: $F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.
Теперь подставим пределы интегрирования:
$\int_{-2/3}^{1} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-2/3}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{(-2/3)^4}{4} = \frac{1}{4} - \frac{16/81}{4} = \frac{1}{4} - \frac{16}{324}$.
Приводим дроби к общему знаменателю $324$:
$\frac{81}{324} - \frac{16}{324} = \frac{81 - 16}{324} = \frac{65}{324}$.
Ответ: $\frac{65}{324}$.

б) Сначала представим подынтегральную функцию в виде степени: $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$.
Найдем первообразную для $f(x) = x^{-2}$: $F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2} = \left. \left(-\frac{1}{x}\right) \right|_{1}^{3} = \left(-\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

в) Найдем первообразную для функции $f(x) = x^4$: $F(x) = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^5}{5}$.
Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^{2} x^4 dx = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{-1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{32}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{32}{5} + \frac{1}{5} = \frac{33}{5}$.
Ответ: $\frac{33}{5}$.

г) Представим подынтегральную функцию в виде степени: $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$.
Найдем первообразную для $f(x) = x^{-1/2}$: $F(x) = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} = 2\sqrt{x}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{4}^{9} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \left. (2\sqrt{x}) \right|_{4}^{9} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{4} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2$.
Ответ: $2$.