Номер 21.4, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.4, страница 131.

21.4. a) $\int_{1}^{5} \frac{dx}{\sqrt{2x-1}}$;

б) $\int_{-2}^{1/3} \frac{2dx}{\sqrt{10-3x}}$.

a) Для вычисления определенного интеграла $ \int_{1}^{5} \frac{dx}{\sqrt{2x - 1}} $ воспользуемся методом замены переменной.
Пусть $ t = 2x - 1 $. Тогда найдем дифференциал $ dt $: $ dt = (2x - 1)' dx = 2dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{2} $.
Теперь необходимо найти новые пределы интегрирования для переменной $ t $.
Если $ x = 1 $ (нижний предел), то $ t = 2(1) - 1 = 1 $.
Если $ x = 5 $ (верхний предел), то $ t = 2(5) - 1 = 9 $.
Подставим новую переменную и новые пределы в исходный интеграл:
$ \int_{1}^{5} \frac{dx}{\sqrt{2x - 1}} = \int_{1}^{9} \frac{\frac{dt}{2}}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int_{1}^{9} t^{-\frac{1}{2}} dt $.
Теперь вычислим полученный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для $ f(x) $.
Первообразная для $ t^{-\frac{1}{2}} $ равна $ \frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{t} $.
$ \frac{1}{2} \int_{1}^{9} t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{2} \cdot [2\sqrt{t}]_{1}^{9} = [\sqrt{t}]_{1}^{9} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2 $.
Ответ: 2

б) Для вычисления определенного интеграла $ \int_{-2}^{\frac{1}{3}} \frac{2dx}{\sqrt{10 - 3x}} $ также используем метод замены переменной.
Пусть $ t = 10 - 3x $. Тогда найдем дифференциал $ dt $: $ dt = (10 - 3x)' dx = -3dx $, откуда $ dx = -\frac{dt}{3} $.
Найдем новые пределы интегрирования для переменной $ t $.
Если $ x = -2 $ (нижний предел), то $ t = 10 - 3(-2) = 10 + 6 = 16 $.
Если $ x = \frac{1}{3} $ (верхний предел), то $ t = 10 - 3(\frac{1}{3}) = 10 - 1 = 9 $.
Подставим новую переменную и новые пределы в исходный интеграл:
$ \int_{-2}^{\frac{1}{3}} \frac{2dx}{\sqrt{10 - 3x}} = \int_{16}^{9} \frac{2(-\frac{dt}{3})}{\sqrt{t}} = -\frac{2}{3} \int_{16}^{9} \frac{dt}{\sqrt{t}} = -\frac{2}{3} \int_{16}^{9} t^{-\frac{1}{2}} dt $.
Воспользуемся свойством определенного интеграла $ \int_{a}^{b} f(x)dx = -\int_{b}^{a} f(x)dx $, чтобы поменять пределы интегрирования местами:
$ -\frac{2}{3} \int_{16}^{9} t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{2}{3} \int_{9}^{16} t^{-\frac{1}{2}} dt $.
Теперь вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Первообразная для $ t^{-\frac{1}{2}} $ равна $ 2\sqrt{t} $.
$ \frac{2}{3} \int_{9}^{16} t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{2}{3} \cdot [2\sqrt{t}]_{9}^{16} = \frac{4}{3} [\sqrt{t}]_{9}^{16} = \frac{4}{3} (\sqrt{16} - \sqrt{9}) = \frac{4}{3} (4 - 3) = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3} $.
Ответ: $ \frac{4}{3} $