Номер 20.47, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.47, страница 131.

20.47. a) $ \int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x} $;

б) $ \int \frac{\cos 2x dx}{\sin^2 x \cos^2 x} $.

а)

Для решения интеграла $\int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x}$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Представим числитель подынтегральной функции в виде этого тождества:

$\int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x} = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx$

Разделим подынтегральное выражение на два слагаемых:

$\int \left( \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) dx = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} \right) dx$

Интеграл суммы равен сумме интегралов:

$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx + \int \frac{1}{\sin^2 x} dx$

Это табличные интегралы:

$\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + C_1$

$\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x + C_2$

Складывая результаты и объединяя константы интегрирования ($C = C_1 + C_2$), получаем:

$\tan x - \cot x + C$

Ответ: $\tan x - \cot x + C$.

б)

Для решения интеграла $\int \frac{\cos 2x \, dx}{\sin^2 x \cos^2 x}$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в числитель:

$\int \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx$

Разделим дробь на две, как и в предыдущем пункте:

$\int \left( \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) dx = \int \left( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x} \right) dx$

Интеграл разности равен разности интегралов:

$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx - \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$

Используя те же табличные интегралы, что и в пункте а), получаем:

$(-\cot x) - (\tan x) + C = -\cot x - \tan x + C$

Ответ: $-\cot x - \tan x + C$.