Номер 20.42, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.42, страница 130.

20.42. Найдите неопределённый интеграл:

а) $\int \left(\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2e^x - \frac{3}{x}\right) dx;$

б) $\int \left(\frac{1}{x^2} + x^2 + 3\right) dx;$

в) $\int \left(3x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{\sqrt[4]{x}} + x^5\right) dx;$

г) $\int \left(5x - \frac{1}{x^2} + x^5\right) dx.$

а) Для нахождения неопределенного интеграла воспользуемся свойством линейности (интеграл суммы/разности равен сумме/разности интегралов) и таблицей основных интегралов. Сначала разобьем интеграл на три отдельных интеграла:

$ \int (\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2e^x - \frac{3}{x}) dx = \int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx + \int 2e^x dx - \int \frac{3}{x} dx $

Вынесем константы за знак интеграла и представим $ \frac{1}{\sqrt{x}} $ как $ x^{-1/2} $:

$ \frac{1}{2}\int x^{-1/2} dx + 2\int e^x dx - 3\int \frac{1}{x} dx $

Теперь применим формулы интегрирования: $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $, $ \int e^x dx = e^x $, $ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| $.

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + 2e^x - 3\ln|x| + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + 2e^x - 3\ln|x| + C = \sqrt{x} + 2e^x - 3\ln|x| + C $

где $ C $ — произвольная постоянная.

Ответ: $ \sqrt{x} + 2e^x - 3\ln|x| + C $

б) Аналогично предыдущему пункту, разобьем интеграл на сумму интегралов:

$ \int (\frac{1}{x^2} + x^2 + 3) dx = \int \frac{1}{x^2} dx + \int x^2 dx + \int 3 dx $

Представим $ \frac{1}{x^2} $ как $ x^{-2} $ и применим формулу для степенной функции:

$ \int x^{-2} dx + \int x^2 dx + \int 3 dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3x + C = \frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^3}{3} + 3x + C = -\frac{1}{x} + \frac{x^3}{3} + 3x + C $

где $ C $ — произвольная постоянная.

Ответ: $ -\frac{1}{x} + \frac{x^3}{3} + 3x + C $

в) Применим свойство линейности интеграла:

$ \int (3x^{2/3} - \frac{4}{\sqrt[4]{x}} + x^5) dx = \int 3x^{2/3} dx - \int \frac{4}{\sqrt[4]{x}} dx + \int x^5 dx $

Вынесем константы и представим корень в виде степени $ \frac{1}{\sqrt[4]{x}} = x^{-1/4} $:

$ 3\int x^{2/3} dx - 4\int x^{-1/4} dx + \int x^5 dx $

Интегрируем каждую степенную функцию:

$ 3 \cdot \frac{x^{2/3 + 1}}{2/3 + 1} - 4 \cdot \frac{x^{-1/4 + 1}}{-1/4 + 1} + \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = 3 \cdot \frac{x^{5/3}}{5/3} - 4 \cdot \frac{x^{3/4}}{3/4} + \frac{x^6}{6} + C = \frac{9}{5}x^{5/3} - \frac{16}{3}x^{3/4} + \frac{x^6}{6} + C $

где $ C $ — произвольная постоянная.

Ответ: $ \frac{9}{5}x^{5/3} - \frac{16}{3}x^{3/4} + \frac{x^6}{6} + C $

г) Разобьем интеграл на сумму и разность интегралов:

$ \int (5^x - \frac{1}{x^2} + x^5) dx = \int 5^x dx - \int \frac{1}{x^2} dx + \int x^5 dx $

Представим $ \frac{1}{x^2} $ как $ x^{-2} $:

$ \int 5^x dx - \int x^{-2} dx + \int x^5 dx $

Применим формулы интегрирования: $ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} $ и $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $.

$ \frac{5^x}{\ln 5} - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{5^x}{\ln 5} - \frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^6}{6} + C = \frac{5^x}{\ln 5} + \frac{1}{x} + \frac{x^6}{6} + C $

где $ C $ — произвольная постоянная.

Ответ: $ \frac{5^x}{\ln 5} + \frac{1}{x} + \frac{x^6}{6} + C $