Номер 20.39, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.39, страница 130.

20.39. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = F(x)$ в точке $x = a$, если известно, что $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$:

а) $f(x) = x \sin x + x^2 \cos x + 5, a = 0;$

б) $f(x) = \log_2 x + \log_3(x+1), a = 8;$

в) $f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 3x + 3}, a = 20;$

г) $f(x) = x^{\frac{1}{5}} - (2x)^{\frac{1}{3}}, a = 32.$

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $y=F(x)$ в точке $x=a$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = F'(a)$.

По условию задачи, функция $y=F(x)$ является первообразной для функции $y=f(x)$. По определению первообразной, это означает, что $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.

Следовательно, для нахождения искомого углового коэффициента касательной в точке $x=a$ достаточно вычислить значение функции $f(x)$ в этой точке: $k = f(a)$.

а)

Дана функция $f(x) = x \sin x + x^2 \cos x + 5$ и точка $a = 0$.

Вычислим значение $f(0)$:

$k = f(0) = 0 \cdot \sin(0) + 0^2 \cdot \cos(0) + 5 = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 5 = 5$.

Ответ: 5.

б)

Дана функция $f(x) = \log_2 x + \log_3(x+1)$ и точка $a = 8$.

Вычислим значение $f(8)$:

$k = f(8) = \log_2 8 + \log_3(8+1) = \log_2 (2^3) + \log_3 (3^2) = 3 + 2 = 5$.

Ответ: 5.

в)

Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 3x + 3}$ и точка $a = 20$.

Вычислим значение $f(20)$:

$k = f(20) = \sqrt[3]{20^2 - 3 \cdot 20 + 3} = \sqrt[3]{400 - 60 + 3} = \sqrt[3]{343} = 7$.

Ответ: 7.

г)

Дана функция $f(x) = x^{\frac{1}{5}} - (2x)^{\frac{1}{3}}$ и точка $a = 32$.

Вычислим значение $f(32)$:

$k = f(32) = 32^{\frac{1}{5}} - (2 \cdot 32)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[5]{32} - \sqrt[3]{64} = 2 - 4 = -2$.

Ответ: -2.