Номер 20.36, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.36, страница 129.

20.36. Скорость движения точки по координатной прямой выражается формулой $v = -4 \sin 3t$. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени $t = 0$ координата точки равнялась числу 2.

Закон движения точки $x(t)$ — это первообразная для функции скорости $v(t)$. Чтобы найти закон движения, нужно найти неопределенный интеграл от функции скорости. Скорость является производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.

Дана функция скорости: $v(t) = -4 \sin(3t)$.

Найдем закон движения $x(t)$, взяв интеграл от функции скорости:

$x(t) = \int v(t) dt = \int (-4 \sin(3t)) dt$

Вынесем постоянный множитель $-4$ за знак интеграла:

$x(t) = -4 \int \sin(3t) dt$

Используем известную формулу интегрирования $\int \sin(kx)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$. В данном случае $k=3$, переменная — $t$.

$x(t) = -4 \left( -\frac{1}{3}\cos(3t) \right) + C$

Упростив выражение, получаем общий вид закона движения:

$x(t) = \frac{4}{3}\cos(3t) + C$

где $C$ — константа интегрирования.

Для нахождения значения константы $C$ используем начальное условие: в момент времени $t = 0$ координата точки $x(0)$ равнялась 2.

Подставим $t=0$ и $x(0)=2$ в полученное уравнение:

$2 = \frac{4}{3}\cos(3 \cdot 0) + C$

Так как $\cos(0) = 1$, получаем:

$2 = \frac{4}{3} \cdot 1 + C$

$2 = \frac{4}{3} + C$

Выразим $C$:

$C = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

Теперь подставим найденное значение $C$ обратно в общий вид закона движения, чтобы получить искомый закон движения:

$x(t) = \frac{4}{3}\cos(3t) + \frac{2}{3}$

Ответ: $x(t) = \frac{4}{3}\cos(3t) + \frac{2}{3}$