Номер 20.29, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.29, страница 129.

20.29. a) $f(x) = 2 \sin 2x$, $x_0 = \frac{\pi}{2}$;

б) $f(x) = 2 \cos 0.5x$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

a)

Чтобы найти значение производной функции $f(x) = 2 \sin 2x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$, необходимо выполнить два шага: найти общую формулу производной $f'(x)$ и затем подставить в нее значение $x_0$.

1. Находим производную функции. Используем правило дифференцирования произведения константы на функцию и правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (2 \sin 2x)' = 2 \cdot (\sin 2x)'$

Для производной $(\sin 2x)'$ используем правило: $(\sin(kx))' = k \cos(kx)$. В нашем случае $k=2$.

$f'(x) = 2 \cdot (2 \cos 2x) = 4 \cos 2x$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = 4 \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 4 \cos(\pi)$.

Так как значение $\cos(\pi) = -1$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{2}) = 4 \cdot (-1) = -4$.

Ответ: -4.

б)

Чтобы найти значение производной функции $f(x) = 2 \cos 0.5x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$, необходимо найти производную $f'(x)$ и вычислить ее значение в точке $x_0$.

1. Находим производную функции. Используем те же правила, что и в предыдущем пункте. Обратим внимание, что $0.5x = \frac{x}{2}$ и $(\cos x)' = -\sin x$.

$f'(x) = (2 \cos 0.5x)' = 2 \cdot (\cos 0.5x)'$

Для производной $(\cos 0.5x)'$ используем правило: $(\cos(kx))' = -k \sin(kx)$. В нашем случае $k=0.5$.

$f'(x) = 2 \cdot (-0.5 \sin 0.5x) = -1 \cdot \sin 0.5x = -\sin 0.5x$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -\sin(0.5 \cdot \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$.

Так как значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} = -0.5$.

Ответ: -0.5.