Номер 20.32, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.32, страница 129.

20.32. Найдите ту первообразную для заданной функции $y = f(x)$, график которой касается оси $x$:

а) $f(x) = 2x + 3;$

б) $f(x) = 12(3x - 1)^3.$

а)

Дана функция $f(x) = 2x + 3$.
Первообразная для функции $f(x)$ имеет общий вид $F(x) = \int f(x)dx$.
$F(x) = \int (2x + 3) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^2 + 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Условие, что график первообразной $F(x)$ касается оси $x$, означает, что существует точка $x_0$, в которой одновременно выполняются два условия:
1. График проходит через точку на оси $x$, то есть $F(x_0) = 0$.
2. Касательная к графику в этой точке горизонтальна (параллельна оси $x$), то есть ее производная равна нулю: $F'(x_0) = 0$.
По определению первообразной, $F'(x) = f(x)$. Следовательно, второе условие можно записать как $f(x_0) = 0$.
Найдем $x_0$ из этого условия:
$2x_0 + 3 = 0$
$2x_0 = -3$
$x_0 = -\frac{3}{2}$
Теперь, зная $x_0$, используем первое условие $F(x_0) = 0$ для нахождения постоянной $C$.
$F(-\frac{3}{2}) = (-\frac{3}{2})^2 + 3(-\frac{3}{2}) + C = 0$
$\frac{9}{4} - \frac{9}{2} + C = 0$
$\frac{9}{4} - \frac{18}{4} + C = 0$
$-\frac{9}{4} + C = 0$
$C = \frac{9}{4}$
Подставляем найденное значение $C$ в общую формулу первообразной:
$F(x) = x^2 + 3x + \frac{9}{4}$.
Эту формулу можно также представить в виде полного квадрата: $F(x) = (x + \frac{3}{2})^2$.

Ответ: $F(x) = x^2 + 3x + \frac{9}{4}$.

б)

Дана функция $f(x) = 12(3x - 1)^3$.
Найдём общий вид первообразной $F(x) = \int 12(3x - 1)^3 dx$.
Воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции сложного аргумента $\int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} \cdot \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
$F(x) = 12 \int (3x - 1)^3 dx = 12 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-1)^{3+1}}{3+1} + C = 4 \cdot \frac{(3x-1)^4}{4} + C = (3x - 1)^4 + C$.
Как и в предыдущем пункте, условие касания оси $x$ в точке $x_0$ означает, что $F(x_0) = 0$ и $F'(x_0) = f(x_0) = 0$.
Найдем $x_0$ из условия $f(x_0) = 0$:
$12(3x_0 - 1)^3 = 0$
$(3x_0 - 1)^3 = 0$
$3x_0 - 1 = 0$
$3x_0 = 1$
$x_0 = \frac{1}{3}$
Теперь найдем $C$ из условия $F(x_0) = 0$.
$F(\frac{1}{3}) = (3 \cdot \frac{1}{3} - 1)^4 + C = 0$
$(1 - 1)^4 + C = 0$
$0^4 + C = 0$
$C = 0$
Подставляем найденное значение $C=0$ в общую формулу первообразной:
$F(x) = (3x - 1)^4$.

Ответ: $F(x) = (3x - 1)^4$.