Номер 20.23, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.23, страница 128.

Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через указанную точку M:

20.23. а) $y = 1 + \text{tg}^2 x$, $M\left(\frac{\pi}{3}; 5\right)$

б) $y = 2 + 2\text{ctg}^2 x$, $M\left(\frac{\pi}{4}; -3\right)$

в) $y = 3 + \text{tg}^2 x$, $M\left(-\frac{\pi}{6}; 4\right)$

г) $y = \text{ctg}^2 x - 9$, $M\left(-\frac{\pi}{3}; -21\right)$

а)

Дана функция $y = 1 + \operatorname{tg}^2 x$ и точка $M(\frac{\pi}{3}; 5)$.

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $y=f(x)$, график которой проходит через точку $M$, то есть $F(\frac{\pi}{3}) = 5$.

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 1 + \operatorname{tg}^2 x$. Используем тригонометрическое тождество: $1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Тогда $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Общий вид первообразной $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int f(x) \,dx = \int \frac{1}{\cos^2 x} \,dx = \operatorname{tg} x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{3}; 5)$. Это означает, что при $x = \frac{\pi}{3}$, значение $F(x)$ равно 5.

$F(\frac{\pi}{3}) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) + C = 5$.

Найдем значение тангенса: $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Подставим это значение в уравнение:

$\sqrt{3} + C = 5$.

Отсюда находим $C$: $C = 5 - \sqrt{3}$.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = \operatorname{tg} x + 5 - \sqrt{3}$.

Ответ: $F(x) = \operatorname{tg} x + 5 - \sqrt{3}$.

б)

Дана функция $y = 2 + 2\operatorname{ctg}^2 x$ и точка $M(\frac{\pi}{4}; -3)$.

Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 2 + 2\operatorname{ctg}^2 x$.

Вынесем общий множитель: $f(x) = 2(1 + \operatorname{ctg}^2 x)$.

Используем тригонометрическое тождество: $1 + \operatorname{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Тогда $f(x) = 2 \cdot \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{2}{\sin^2 x}$.

Общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int \frac{2}{\sin^2 x} \,dx = 2 \int \frac{1}{\sin^2 x} \,dx = 2(-\operatorname{ctg} x) + C = -2\operatorname{ctg} x + C$.

Используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; -3)$, то есть $F(\frac{\pi}{4}) = -3$.

$F(\frac{\pi}{4}) = -2\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) + C = -3$.

Найдем значение котангенса: $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Подставим это значение в уравнение:

$-2(1) + C = -3$.

$-2 + C = -3$.

$C = -3 + 2 = -1$.

Искомая первообразная: $F(x) = -2\operatorname{ctg} x - 1$.

Ответ: $F(x) = -2\operatorname{ctg} x - 1$.

в)

Дана функция $y = 3 + \operatorname{tg}^2 x$ и точка $M(-\frac{\pi}{6}; 4)$.

Представим функцию $f(x) = 3 + \operatorname{tg}^2 x$ в удобном для интегрирования виде. Используем тождество $1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

$f(x) = 2 + (1 + \operatorname{tg}^2 x) = 2 + \frac{1}{\cos^2 x}$.

Теперь найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (2 + \frac{1}{\cos^2 x}) \,dx = \int 2 \,dx + \int \frac{1}{\cos^2 x} \,dx = 2x + \operatorname{tg} x + C$.

Используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(-\frac{\pi}{6}; 4)$, то есть $F(-\frac{\pi}{6}) = 4$.

$F(-\frac{\pi}{6}) = 2(-\frac{\pi}{6}) + \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6}) + C = 4$.

Найдем значения: $\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставим в уравнение:

$-\frac{2\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3} + C = 4$.

$-\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} + C = 4$.

Отсюда находим $C$: $C = 4 + \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Искомая первообразная: $F(x) = 2x + \operatorname{tg} x + 4 + \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $F(x) = 2x + \operatorname{tg} x + 4 + \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

г)

Дана функция $y = \operatorname{ctg}^2 x - 9$ и точка $M(-\frac{\pi}{3}; -21)$.

Представим функцию $f(x) = \operatorname{ctg}^2 x - 9$ в удобном для интегрирования виде. Используем тождество $1 + \operatorname{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$, откуда $\operatorname{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} - 1$.

$f(x) = (\frac{1}{\sin^2 x} - 1) - 9 = \frac{1}{\sin^2 x} - 10$.

Теперь найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (\frac{1}{\sin^2 x} - 10) \,dx = \int \frac{1}{\sin^2 x} \,dx - \int 10 \,dx = -\operatorname{ctg} x - 10x + C$.

Используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(-\frac{\pi}{3}; -21)$, то есть $F(-\frac{\pi}{3}) = -21$.

$F(-\frac{\pi}{3}) = -\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{3}) - 10(-\frac{\pi}{3}) + C = -21$.

Найдем значения: $\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{3}) = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставим в уравнение:

$-(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \frac{10\pi}{3} + C = -21$.

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{10\pi}{3} + C = -21$.

Отсюда находим $C$: $C = -21 - \frac{10\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Искомая первообразная: $F(x) = -\operatorname{ctg} x - 10x - 21 - \frac{10\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $F(x) = -\operatorname{ctg} x - 10x - 21 - \frac{10\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}$.