Номер 20.17, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.17, страница 126.

○20.17.

a) $f(x) = \sin x \cos 6x + \cos x \sin 6x;$

б) $f(x) = \sin^2 5x;$

в) $f(x) = \cos 6x \cos x + \sin 6x \sin x;$

г) $f(x) = \sin 5x \cos x.$

а) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \sin x \cos 6x + \cos x \sin 6x$ сначала упростим выражение, используя тригонометрическую формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = 6x$, поэтому:
$f(x) = \sin(x + 6x) = \sin(7x)$.
Теперь найдем первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \sin(7x)$. Первообразная находится путем интегрирования:
$F(x) = \int \sin(7x) \,dx = -\frac{1}{7}\cos(7x) + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{7}\cos(7x) + C$.

б) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \sin^2 5x$ воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.
Применим эту формулу для $\alpha = 5x$:
$f(x) = \frac{1 - \cos(2 \cdot 5x)}{2} = \frac{1 - \cos(10x)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(10x)$.
Теперь найдем первообразную $F(x)$, интегрируя полученное выражение:
$F(x) = \int \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(10x)\right) \,dx = \int \frac{1}{2} \,dx - \frac{1}{2}\int \cos(10x) \,dx$.
$F(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}\sin(10x) + C = \frac{1}{2}x - \frac{1}{20}\sin(10x) + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{20}\sin(10x) + C$.

в) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \cos 6x \cos x + \sin 6x \sin x$ используем тригонометрическую формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.
В данном случае $\alpha = 6x$ и $\beta = x$, следовательно:
$f(x) = \cos(6x - x) = \cos(5x)$.
Теперь найдем первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \cos(5x)$.
$F(x) = \int \cos(5x) \,dx = \frac{1}{5}\sin(5x) + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{5}\sin(5x) + C$.

г) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \sin 5x \cos x$ применим формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$.
Здесь $\alpha = 5x$ и $\beta = x$, поэтому:
$f(x) = \frac{1}{2}(\sin(5x+x) + \sin(5x-x)) = \frac{1}{2}(\sin(6x) + \sin(4x))$.
Теперь найдем первообразную $F(x)$, интегрируя это выражение:
$F(x) = \int \frac{1}{2}(\sin(6x) + \sin(4x)) \,dx = \frac{1}{2} \int \sin(6x) \,dx + \frac{1}{2} \int \sin(4x) \,dx$.
$F(x) = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{6}\cos(6x)\right) + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{4}\cos(4x)\right) + C = -\frac{1}{12}\cos(6x) - \frac{1}{8}\cos(4x) + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{12}\cos(6x) - \frac{1}{8}\cos(4x) + C$.