Номер 20.18, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.18, страница 126.

20.18. Найдите функцию $y = f(x)$, удовлетворяющую заданному условию (дифференциальному уравнению):

а) $y' = x^4 - 3x^2;$

б) $y' = \sin x + 1;$

в) $y' = x^{12} - 8x^7;$

г) $y' = \cos x - 9.$

Чтобы найти функцию $y = f(x)$, зная ее производную $y'$, необходимо найти первообразную для выражения, которому равна производная. Это достигается путем интегрирования.

а) $y' = x^4 - 3x^2$

Для нахождения функции $y$ проинтегрируем правую часть уравнения по $x$:

$y = \int (x^4 - 3x^2) dx$

Используем свойство линейности интеграла, которое позволяет интегрировать каждое слагаемое по отдельности:

$y = \int x^4 dx - \int 3x^2 dx$

Применим формулу для интеграла от степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^5}{5}$

$\int 3x^2 dx = 3 \cdot \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$

Объединяя результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общее решение:

$y = \frac{x^5}{5} - x^3 + C$

Ответ: $y = \frac{x^5}{5} - x^3 + C$.

б) $y' = \sin x + 1$

Для нахождения функции $y$ проинтегрируем правую часть уравнения по $x$:

$y = \int (\sin x + 1) dx$

Разбиваем интеграл на сумму двух интегралов:

$y = \int \sin x dx + \int 1 dx$

Используем табличные интегралы: $\int \sin x dx = -\cos x$ и $\int 1 dx = x$.

Складывая результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем:

$y = -\cos x + x + C$

Ответ: $y = -\cos x + x + C$.

в) $y' = x^{12} - 8x^7$

Для нахождения функции $y$ проинтегрируем правую часть уравнения по $x$:

$y = \int (x^{12} - 8x^7) dx$

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$y = \int x^{12} dx - \int 8x^7 dx$

Используем формулу для интеграла от степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int x^{12} dx = \frac{x^{12+1}}{12+1} = \frac{x^{13}}{13}$

$\int 8x^7 dx = 8 \cdot \int x^7 dx = 8 \cdot \frac{x^{7+1}}{7+1} = 8 \cdot \frac{x^8}{8} = x^8$

Объединяя результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем:

$y = \frac{x^{13}}{13} - x^8 + C$

Ответ: $y = \frac{x^{13}}{13} - x^8 + C$.

г) $y' = \cos x - 9$

Для нахождения функции $y$ проинтегрируем правую часть уравнения по $x$:

$y = \int (\cos x - 9) dx$

Разбиваем интеграл на разность двух интегралов:

$y = \int \cos x dx - \int 9 dx$

Используем табличные интегралы: $\int \cos x dx = \sin x$ и $\int k dx = kx$.

Складывая результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем:

$y = \sin x - 9x + C$

Ответ: $y = \sin x - 9x + C$.