Номер 20.13, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.13, страница 126.

20.13. a) $f(x) = \sin \left( 3x + \frac{\pi}{6} \right)$;

б) $f(x) = \frac{1}{2 - 5x}$;

в) $f(x) = \cos (4x - 3)$;

г) $f(x) = 2^{3 - \frac{x}{2}}$.

а) Для нахождения производной функции $f(x) = \sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)$ используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Данная функция является композицией двух функций: внешней $g(u) = \sin(u)$ и внутренней $u(x) = 3x + \frac{\pi}{6}$.
Производная сложной функции находится по формуле $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$.
Сначала найдем производные внешней и внутренней функций:
Производная внешней функции: $g'(u) = (\sin(u))' = \cos(u)$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = \left(3x + \frac{\pi}{6}\right)' = 3$.
Теперь подставим найденные производные в формулу цепного правила:
$f'(x) = \cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) \cdot 3 = 3\cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)$.
Ответ: $f'(x) = 3\cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{1}{2 - 5x}$ представим ее в виде степенной функции $f(x) = (2 - 5x)^{-1}$ и воспользуемся цепным правилом. Здесь внешняя функция $g(u) = u^{-1}$, а внутренняя $u(x) = 2 - 5x$.
Формула производной сложной функции: $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$.
Найдем производные:
$g'(u) = (u^{-1})' = -1 \cdot u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$.
$u'(x) = (2 - 5x)' = -5$.
Подставляем в формулу:
$f'(x) = -\frac{1}{(2 - 5x)^2} \cdot (-5) = \frac{5}{(2 - 5x)^2}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{5}{(2 - 5x)^2}$.

в) Для нахождения производной функции $f(x) = \cos(4x - 3)$ применим цепное правило. Внешняя функция $g(u) = \cos(u)$, внутренняя функция $u(x) = 4x - 3$.
Производная находится по формуле $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$.
Найдем производные составляющих функций:
$g'(u) = (\cos(u))' = -\sin(u)$.
$u'(x) = (4x - 3)' = 4$.
Применяем цепное правило:
$f'(x) = -\sin(4x - 3) \cdot 4 = -4\sin(4x - 3)$.
Ответ: $f'(x) = -4\sin(4x - 3)$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = 2^{3 - \frac{x}{2}}$ используем правило дифференцирования показательной функции и цепное правило. Внешняя функция $g(u) = 2^u$, внутренняя функция $u(x) = 3 - \frac{x}{2}$.
Производная сложной функции: $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$.
Найдем производные. Производная показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a)$.
$g'(u) = (2^u)' = 2^u \ln(2)$.
$u'(x) = \left(3 - \frac{x}{2}\right)' = -\frac{1}{2}$.
Подставляем найденные производные в формулу:
$f'(x) = \left(2^{3 - \frac{x}{2}} \ln(2)\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\ln(2)}{2} \cdot 2^{3 - \frac{x}{2}}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{\ln(2)}{2} \cdot 2^{3 - \frac{x}{2}}$.