Номер 20.10, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.10, страница 125.

20.10. Для функции $y = f(x)$ найдите первообразную:

а) $f(x) = -\frac{1}{x^2}$;

б) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}};$

в) $f(x) = \frac{7}{x^2};$

г) $f(x) = \frac{6}{\sqrt{x}}.$

а) Первообразная функции $F(x)$ по определению является функцией, производная которой равна исходной функции $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Для нахождения первообразной необходимо выполнить операцию, обратную дифференцированию, — интегрирование.
Найдем неопределенный интеграл от функции $f(x) = -\frac{1}{x^2}$.
Для удобства представим функцию в виде степени: $f(x) = -x^{-2}$.
Воспользуемся табличной формулой для интеграла степенной функции: $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
В данном случае $n = -2$.
$F(x) = \int (-x^{-2}) \,dx = - \int x^{-2} \,dx = - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = - \frac{x^{-1}}{-1} + C = x^{-1} + C = \frac{1}{x} + C$.
Здесь и далее $C$ — произвольная постоянная.
Проверим результат, взяв производную от найденной первообразной: $F'(x) = \left(\frac{1}{x} + C\right)' = (x^{-1})' + (C)' = -1 \cdot x^{-2} + 0 = -\frac{1}{x^2}$, что совпадает с исходной функцией $f(x)$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{x} + C$.

б) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2}$.
Используем ту же формулу для интеграла степенной функции: $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
В данном случае $n = -1/2$.
$F(x) = \int \frac{1}{2}x^{-1/2} \,dx = \frac{1}{2} \int x^{-1/2} \,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = x^{1/2} + C = \sqrt{x} + C$.
Проверка: $F'(x) = (\sqrt{x} + C)' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, что совпадает с исходной функцией $f(x)$.
Ответ: $F(x) = \sqrt{x} + C$.

в) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{7}{x^2}$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = 7x^{-2}$.
$F(x) = \int 7x^{-2} \,dx = 7 \int x^{-2} \,dx = 7 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = 7 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = -7x^{-1} + C = -\frac{7}{x} + C$.
Проверка: $F'(x) = \left(-\frac{7}{x} + C\right)' = (-7x^{-1})' = -7 \cdot (-1)x^{-2} = 7x^{-2} = \frac{7}{x^2}$, что совпадает с исходной функцией $f(x)$.
Ответ: $F(x) = -\frac{7}{x} + C$.

г) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = 6x^{-1/2}$.
$F(x) = \int 6x^{-1/2} \,dx = 6 \int x^{-1/2} \,dx = 6 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 6 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 6 \cdot 2x^{1/2} + C = 12\sqrt{x} + C$.
Проверка: $F'(x) = (12\sqrt{x} + C)' = (12x^{1/2})' = 12 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = 6x^{-1/2} = \frac{6}{\sqrt{x}}$, что совпадает с исходной функцией $f(x)$.
Ответ: $F(x) = 12\sqrt{x} + C$.