Номер 20.5, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.5, страница 124.

20.5. a) $F(x) = |x^2 - 1| - 3x$, $f(x) = 2x - 3$, $x \in (1; +\infty);$

б) $F(x) = |x^2 - 1| + 8x$, $f(x) = -2x + 8$, $x \in (-1; 1);$

в) $F(x) = |x^2 + 1| + |x - 3|$, $f(x) = 2x + 1$, $x \in (3; +\infty);$

г) $F(x) = |x^4 + 3x^2 + 1| + |x|$,

$f(x) = 4x^3 + 6x^2 - 1$, $x \in (-\infty; 0).$

а) Чтобы проверить, является ли функция $f(x)$ производной функции $F(x)$ на заданном промежутке, необходимо найти производную $F'(x)$ и сравнить её с $f(x)$.
Рассмотрим промежуток $x \in (1; +\infty)$. На этом промежутке $x > 1$, следовательно $x^2 > 1$, и выражение под модулем $x^2 - 1$ положительно. Это означает, что $|x^2 - 1| = x^2 - 1$.
Тогда функция $F(x)$ на данном промежутке принимает вид: $F(x) = (x^2 - 1) - 3x = x^2 - 3x - 1$.
Теперь найдем её производную: $F'(x) = (x^2 - 3x - 1)' = 2x - 3$.
Сравнивая полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x) = 2x - 3$, мы видим, что они полностью совпадают.
Ответ: да, $f(x)$ является производной $F(x)$ на промежутке $(1; +\infty)$.

б) Рассмотрим функции $F(x) = |x^2 - 1| + 8x$ и $f(x) = -2x + 8$ на промежутке $x \in (-1; 1)$.
На этом промежутке $-1 < x < 1$, следовательно $x^2 < 1$, и выражение под модулем $x^2 - 1$ отрицательно. Это означает, что $|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$.
Тогда функция $F(x)$ на данном промежутке принимает вид: $F(x) = (1 - x^2) + 8x = -x^2 + 8x + 1$.
Найдем производную этой функции: $F'(x) = (-x^2 + 8x + 1)' = -2x + 8$.
Сравнивая полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x) = -2x + 8$, мы видим, что они совпадают.
Ответ: да, $f(x)$ является производной $F(x)$ на промежутке $(-1; 1)$.

в) Рассмотрим функции $F(x) = |x^2 + 1| + |x - 3|$ и $f(x) = 2x + 1$ на промежутке $x \in (3; +\infty)$.
На этом промежутке $x > 3$.
Раскроем модули. Выражение $x^2 + 1$ всегда положительно при любом значении $x$, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $|x^2 + 1| = x^2 + 1$.
Поскольку $x > 3$, выражение $x - 3$ также положительно, следовательно $|x - 3| = x - 3$.
Тогда функция $F(x)$ на данном промежутке принимает вид: $F(x) = (x^2 + 1) + (x - 3) = x^2 + x - 2$.
Найдем производную этой функции: $F'(x) = (x^2 + x - 2)' = 2x + 1$.
Сравнивая полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x) = 2x + 1$, мы видим, что они совпадают.
Ответ: да, $f(x)$ является производной $F(x)$ на промежутке $(3; +\infty)$.

г) Рассмотрим функции $F(x) = |x^4 + 3x^2 + 1| + |x|$ и $f(x) = 4x^3 + 6x^2 - 1$ на промежутке $x \in (-\infty; 0)$.
На этом промежутке $x < 0$.
Раскроем модули. Выражение $x^4 + 3x^2 + 1$ всегда положительно, так как степени $x^4$ и $x^2$ неотрицательны, следовательно $|x^4 + 3x^2 + 1| = x^4 + 3x^2 + 1$.
Поскольку $x < 0$, то $|x| = -x$.
Тогда функция $F(x)$ на данном промежутке принимает вид: $F(x) = (x^4 + 3x^2 + 1) + (-x) = x^4 + 3x^2 - x + 1$.
Найдем производную этой функции: $F'(x) = (x^4 + 3x^2 - x + 1)' = 4x^3 + 6x - 1$.
Сравним полученную производную $F'(x) = 4x^3 + 6x - 1$ с функцией $f(x) = 4x^3 + 6x^2 - 1$.
Эти функции не равны, так как слагаемое $6x$ в $F'(x)$ не равно слагаемому $6x^2$ в $f(x)$ (кроме точек $x=0$ и $x=1$, которые не принадлежат всему интервалу).
Ответ: нет, $f(x)$ не является производной $F(x)$ на промежутке $(-\infty; 0)$.