Номер 19.43, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.43, страница 122.

19.43. a) $y = x^2 e^{-x}$;

б) $y = x^3 e^x$.

а) $y = x^2e^{-x}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.
Функция определена для всех действительных значений $x$, так как множители $x^2$ и $e^{-x}$ определены на всей числовой оси.
$D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью $Oy$: при $x=0$, $y(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0$. Точка $(0, 0)$.
Пересечение с осью $Ox$: при $y=0$, $x^2e^{-x} = 0$. Так как $e^{-x} > 0$ для любого $x$, то $x^2 = 0$, откуда $x=0$. Точка $(0, 0)$.
График проходит через начало координат.

3. Четность и периодичность.
$y(-x) = (-x)^2e^{-(-x)} = x^2e^x$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не является периодической.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей области определения.
Горизонтальные асимптоты:
$\lim_{x \to +\infty} x^2e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}$. Это неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Применим правило Лопиталя дважды:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2)'}{(e^x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(2x)'}{(e^x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0$.
Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} x^2e^{-x} = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$.
Горизонтальной асимптоты при $x \to -\infty$ нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную:
$y' = (x^2e^{-x})' = (x^2)'e^{-x} + x^2(e^{-x})' = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = (2x - x^2)e^{-x} = x(2-x)e^{-x}$.
Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $x(2-x)e^{-x} = 0$.
Так как $e^{-x} \neq 0$, то $x(2-x)=0$, откуда $x_1=0$, $x_2=2$.
Исследуем знак производной на интервалах:
- При $x \in (-\infty, 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0, 2)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (2, +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x=0$ производная меняет знак с $-$ на $+$, следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 0$.
В точке $x=2$ производная меняет знак с $+$ на $-$, следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(2) = 2^2e^{-2} = 4e^{-2}$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.
Найдем вторую производную:
$y'' = ((2x - x^2)e^{-x})' = (2-2x)e^{-x} - (2x-x^2)e^{-x} = (2-2x-2x+x^2)e^{-x} = (x^2-4x+2)e^{-x}$.
Приравняем вторую производную к нулю: $(x^2-4x+2)e^{-x} = 0$.
$x^2-4x+2=0$. Решим квадратное уравнение: $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.
$x_1 = 2-\sqrt{2} \approx 0.59$, $x_2 = 2+\sqrt{2} \approx 3.41$.
Исследуем знак второй производной на интервалах:
- При $x \in (-\infty, 2-\sqrt{2})$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).
- При $x \in (2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2})$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх.
- При $x \in (2+\sqrt{2}, +\infty)$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).
Так как в точках $x = 2 \pm \sqrt{2}$ вторая производная меняет знак, это точки перегиба.

Ответ: 1. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Точка пересечения с осями: $(0,0)$.
3. Функция общего вида (не четная и не нечетная).
4. Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to +\infty$.
5. Убывает на $(-\infty, 0)$ и $(2, +\infty)$; возрастает на $(0, 2)$.
6. Точка минимума: $(0, 0)$. Точка максимума: $(2, 4e^{-2})$.
7. Выпукла вниз (вогнута) на $(-\infty, 2-\sqrt{2})$ и $(2+\sqrt{2}, +\infty)$; выпукла вверх на $(2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2})$.
8. Точки перегиба при $x=2-\sqrt{2}$ и $x=2+\sqrt{2}$.

---

б) $y = x^3e^x$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.
Функция определена для всех действительных значений $x$.
$D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью $Oy$: при $x=0$, $y(0) = 0^3 \cdot e^0 = 0$. Точка $(0, 0)$.
Пересечение с осью $Ox$: при $y=0$, $x^3e^x = 0$. Так как $e^x > 0$, то $x^3 = 0$, откуда $x=0$. Точка $(0, 0)$.
График проходит через начало координат.

3. Четность и периодичность.
$y(-x) = (-x)^3e^{-x} = -x^3e^{-x}$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не является периодической.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет.
Горизонтальные асимптоты:
$\lim_{x \to +\infty} x^3e^x = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$.
Горизонтальной асимптоты при $x \to +\infty$ нет.
$\lim_{x \to -\infty} x^3e^x = (-\infty) \cdot 0$. Это неопределенность. Преобразуем выражение: $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{e^{-x}}$. Это неопределенность вида $\frac{-\infty}{\infty}$. Применим правило Лопиталя трижды:
$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2}{-e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{6x}{e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{6}{-e^{-x}} = 0$.
Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to -\infty$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную:
$y' = (x^3e^x)' = 3x^2e^x + x^3e^x = (x^3+3x^2)e^x = x^2(x+3)e^x$.
Приравняем производную к нулю: $x^2(x+3)e^x=0$.
Критические точки: $x_1=0$, $x_2=-3$.
Исследуем знак производной на интервалах:
- При $x \in (-\infty, -3)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-3, 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (0, +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.
В точке $x=-3$ производная меняет знак с $-$ на $+$, следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(-3) = (-3)^3e^{-3} = -27e^{-3}$.
В точке $x=0$ производная не меняет знак, значит, это не точка экстремума.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.
Найдем вторую производную:
$y'' = ((x^3+3x^2)e^x)' = (3x^2+6x)e^x + (x^3+3x^2)e^x = (x^3+6x^2+6x)e^x = x(x^2+6x+6)e^x$.
Приравняем вторую производную к нулю: $x(x^2+6x+6)e^x = 0$.
Отсюда $x=0$ или $x^2+6x+6=0$. Решим квадратное уравнение: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{36-24}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{2} = -3 \pm \sqrt{3}$.
Точки, подозрительные на перегиб: $x_1 = 0$, $x_2 = -3-\sqrt{3} \approx -4.73$, $x_3 = -3+\sqrt{3} \approx -1.27$.
Исследуем знак второй производной на интервалах, образованных этими точками:
- При $x \in (-\infty, -3-\sqrt{3})$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх.
- При $x \in (-3-\sqrt{3}, -3+\sqrt{3})$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).
- При $x \in (-3+\sqrt{3}, 0)$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх.
- При $x \in (0, +\infty)$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).
Так как во всех трех точках вторая производная меняет знак, все они являются точками перегиба. Точка $(0,0)$ является точкой перегиба с горизонтальной касательной, так как $y'(0)=0$.

Ответ:1. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Точка пересечения с осями: $(0,0)$.
3. Функция общего вида.
4. Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to -\infty$.
5. Убывает на $(-\infty, -3)$; возрастает на $(-3, +\infty)$.
6. Точка минимума: $(-3, -27e^{-3})$. Точек максимума нет.
7. Выпукла вверх на $(-\infty, -3-\sqrt{3})$ и $(-3+\sqrt{3}, 0)$; выпукла вниз (вогнута) на $(-3-\sqrt{3}, -3+\sqrt{3})$ и $(0, +\infty)$.
8. Точки перегиба при $x=0$, $x=-3-\sqrt{3}$ и $x=-3+\sqrt{3}$.