Номер 19.38, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.38, страница 122.

19.38. Исследуйте функцию на монотонность и найдите точки экстремума:

a) $y = 2 \ln x^3 - 5x + \frac{x^2}{2}$;

б) $y = \ln \frac{1}{x^3} + x^2 + x + 3.$

а) $y = 2 \ln x^3 - 5x + \frac{x^2}{2}$

1. Найдем область определения функции.
Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x^3 > 0$, что эквивалентно $x > 0$.
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (0; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции, используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \ln a$:
$y = 2 \cdot 3 \ln x - 5x + \frac{x^2}{2} = 6 \ln x - 5x + \frac{x^2}{2}$.

3. Найдем производную функции $y'$ для исследования на монотонность:
$y' = (6 \ln x - 5x + \frac{x^2}{2})' = 6 \cdot \frac{1}{x} - 5 + \frac{1}{2} \cdot 2x = \frac{6}{x} - 5 + x$.

4. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю. Критические точки — это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае производная существует на всей области определения.
$y' = 0 \implies \frac{6}{x} - 5 + x = 0$.
Приведем к общему знаменателю $x$ (который не равен нулю в области определения):
$\frac{6 - 5x + x^2}{x} = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$.
Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 5$ и $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Обе точки принадлежат области определения $(0; +\infty)$ и являются стационарными точками.

5. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения: $(0; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$. Знак $y' = \frac{x^2 - 5x + 6}{x}$ на области $(0; +\infty)$ совпадает со знаком числителя $f(x)=x^2 - 5x + 6$ (т.к. $x > 0$). График $f(x)$ — парабола с ветвями вверх.
- На интервале $(0; 2)$: выберем тестовую точку $x=1$. $y'(1) = 1 - 5 + 6 = 2 > 0$, значит, функция возрастает.
- На интервале $(2; 3)$: выберем тестовую точку $x=2.5$. $y'(2.5) = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0$, значит, функция убывает.
- На интервале $(3; +\infty)$: выберем тестовую точку $x=4$. $y'(4) = 4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0$, значит, функция возрастает.

6. Выводы:
- Промежутки возрастания (где $y' \ge 0$): $(0; 2]$ и $[3; +\infty)$.
- Промежуток убывания (где $y' \le 0$): $[2; 3]$.
- В точке $x=2$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума: $x_{max} = 2$.
- В точке $x=3$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума: $x_{min} = 3$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(0; 2]$ и $[3; +\infty)$, убывает на промежутке $[2; 3]$; точка максимума $x_{max} = 2$, точка минимума $x_{min} = 3$.

б) $y = \ln \frac{1}{x^3} + x^2 + x + 3$

1. Найдем область определения функции.
Аргумент логарифма должен быть положительным: $\frac{1}{x^3} > 0$, что означает $x^3 > 0$, и следовательно, $x > 0$.
Область определения функции: $D(y) = (0; +\infty)$.

2. Упростим функцию, используя свойства логарифма $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln a$ и $\ln(a^b) = b \ln a$:
$y = \ln(x^{-3}) + x^2 + x + 3 = -3 \ln x + x^2 + x + 3$.

3. Найдем производную функции:
$y' = (-3 \ln x + x^2 + x + 3)' = -3 \cdot \frac{1}{x} + 2x + 1 = -\frac{3}{x} + 2x + 1$.

4. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$-\frac{3}{x} + 2x + 1 = 0$.
Приведем к общему знаменателю $x$:
$\frac{-3 + 2x^2 + x}{x} = 0$
$2x^2 + x - 3 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{6}{4} = -1.5$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Корень $x_1 = -1.5$ не входит в область определения $(0; +\infty)$.
Таким образом, у нас есть одна критическая точка: $x=1$.

5. Исследуем знак производной на интервалах $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Знак $y' = \frac{2x^2 + x - 3}{x}$ на области $(0; +\infty)$ определяется знаком числителя $f(x)=2x^2 + x - 3$. График $f(x)$ — парабола с ветвями вверх.
- На интервале $(0; 1)$: выберем тестовую точку $x=0.5$. $y'(0.5) = -\frac{3}{0.5} + 2(0.5) + 1 = -6 + 1 + 1 = -4 < 0$, значит, функция убывает.
- На интервале $(1; +\infty)$: выберем тестовую точку $x=2$. $y'(2) = -\frac{3}{2} + 2(2) + 1 = -1.5 + 4 + 1 = 3.5 > 0$, значит, функция возрастает.

6. Выводы:
- Промежуток убывания (где $y' \le 0$): $(0; 1]$.
- Промежуток возрастания (где $y' \ge 0$): $[1; +\infty)$.
- В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума: $x_{min} = 1$.
- Точек максимума у функции нет.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0; 1]$, возрастает на промежутке $[1; +\infty)$; точка минимума $x_{min} = 1$.