Номер 19.41, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.41, страница 122.

19.41. Найдите, если возможно, наименьшее и (или) наибольшее значение заданной функции на указанном промежутке:

a) $y = \ln x + x, (0; 1]$

б) $y = \frac{e^x}{x}, (0; 2)$

а) $y = \ln x + x$ на промежутке $(0; 1]$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном промежутке, найдем ее производную и исследуем на монотонность.

1. Производная функции:

$y' = (\ln x + x)' = \frac{1}{x} + 1$.

2. Анализ знака производной на промежутке $(0; 1]$.

Для любого $x$ из промежутка $(0; 1]$ справедливо, что $x > 0$. Следовательно, $\frac{1}{x} > 0$, а значит и вся производная $y' = \frac{1}{x} + 1$ будет положительной на всем промежутке $(0; 1]$.

3. Определение экстремумов.

Поскольку $y' > 0$ на $(0; 1]$, функция $y(x)$ является строго возрастающей на этом промежутке. Это означает, что у нее нет точек экстремума внутри промежутка.

4. Нахождение наименьшего и наибольшего значений.

Для строго возрастающей функции на промежутке вида $(a, b]$, наибольшее значение достигается на правом конце, а наименьшее значение не достигается, но можно найти предел на левом конце.

Наибольшее значение будет в точке $x = 1$:

$y_{наиб} = y(1) = \ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1$.

Левая граница $x=0$ не принадлежит промежутку. Чтобы исследовать поведение функции вблизи этой точки, найдем предел функции при $x$, стремящемся к 0 справа:

$\lim_{x \to 0^+} (\ln x + x) = \lim_{x \to 0^+} \ln x + \lim_{x \to 0^+} x = -\infty + 0 = -\infty$.

Так как функция стремится к минус бесконечности, она не ограничена снизу на данном промежутке. Следовательно, наименьшего значения у функции нет.

Ответ: наибольшее значение функции равно 1, наименьшего значения не существует.

б) $y = \frac{e^x}{x}$ на промежутке $(0; 2)$

1. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{e^x}{x}\right)' = \frac{(e^x)' \cdot x - e^x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$.

2. Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю:

$\frac{e^x(x - 1)}{x^2} = 0$.

Поскольку $e^x > 0$ и $x^2 > 0$ на промежутке $(0; 2)$, равенство возможно только если $x - 1 = 0$. Отсюда получаем критическую точку $x = 1$. Эта точка принадлежит заданному промежутку $(0; 2)$.

3. Исследуем знак производной на интервалах, на которые точка $x=1$ разбивает промежуток $(0; 2)$, то есть на $(0; 1)$ и $(1; 2)$.

• При $x \in (0; 1)$, выражение $(x-1)$ отрицательно, значит $y' < 0$. Функция на этом интервале убывает.
• При $x \in (1; 2)$, выражение $(x-1)$ положительно, значит $y' > 0$. Функция на этом интервале возрастает.

4. Нахождение наименьшего и наибольшего значений.

Поскольку в точке $x=1$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой локального минимума. Так как это единственная критическая точка на всем промежутке, то в ней достигается наименьшее значение функции на этом промежутке.

$y_{наим} = y(1) = \frac{e^1}{1} = e$.

Промежуток $(0; 2)$ является открытым, поэтому наибольшее значение может не достигаться. Исследуем поведение функции на границах промежутка, найдя пределы:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x}{x} = \frac{e^0}{0^+} = \frac{1}{0^+} = +\infty$.

$\lim_{x \to 2^-} \frac{e^x}{x} = \frac{e^2}{2}$.

Так как при приближении к левой границе $x=0$ функция стремится к плюс бесконечности, она не ограничена сверху на данном промежутке. Следовательно, наибольшего значения у функции нет.

Ответ: наименьшее значение функции равно $e$, наибольшего значения не существует.