Номер 19.35, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.35, страница 121.

19.35. При каком значении параметра $a$:

а) прямая $y = 3x - 4 + a$ является касательной к графику функции $y = \ln (3x - 4)$;

б) прямая $y = 2x + 3 + a$ является касательной к графику функции $y = \ln (2x + 3)?$

а)

Чтобы прямая $y = 3x - 4 + a$ была касательной к графику функции $f(x) = \ln(3x - 4)$ в некоторой точке $x_0$, должны выполняться два условия:

1. Угловой коэффициент касательной должен быть равен значению производной функции в точке касания $x_0$.
2. Значения функции и касательной в точке $x_0$ должны совпадать.

Угловой коэффициент данной прямой $y = 3x - 4 + a$ равен $k=3$.

Найдем производную функции $f(x) = \ln(3x - 4)$:

$f'(x) = (\ln(3x - 4))' = \frac{1}{3x-4} \cdot (3x-4)' = \frac{3}{3x-4}$.

Приравняем производную к угловому коэффициенту касательной, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = 3$

$\frac{3}{3x_0 - 4} = 3$

Разделим обе части уравнения на 3 (при условии $3x_0 - 4 \neq 0$):

$\frac{1}{3x_0 - 4} = 1$

$3x_0 - 4 = 1$

$3x_0 = 5$

$x_0 = \frac{5}{3}$

Проверим, входит ли эта точка в область определения функции $f(x) = \ln(3x-4)$. Область определения задается неравенством $3x-4 > 0$, то есть $x > \frac{4}{3}$. Поскольку $\frac{5}{3} > \frac{4}{3}$, точка $x_0 = \frac{5}{3}$ принадлежит области определения.

Теперь используем второе условие: значения функции и прямой в точке $x_0 = \frac{5}{3}$ должны быть равны.

$f(x_0) = y(x_0)$

$\ln(3x_0 - 4) = 3x_0 - 4 + a$

Подставим значение $x_0 = \frac{5}{3}$:

$\ln(3 \cdot \frac{5}{3} - 4) = 3 \cdot \frac{5}{3} - 4 + a$

$\ln(5 - 4) = 5 - 4 + a$

$\ln(1) = 1 + a$

Так как $\ln(1) = 0$, получаем:

$0 = 1 + a$

$a = -1$

Ответ: $a = -1$.

б)

Аналогично, чтобы прямая $y = 2x + 3 + a$ была касательной к графику функции $f(x) = \ln(2x + 3)$ в точке $x_0$, необходимо, чтобы угловой коэффициент касательной был равен значению производной в этой точке, и чтобы значения функции и прямой в этой точке совпадали.

Угловой коэффициент прямой $y = 2x + 3 + a$ равен $k=2$.

Найдем производную функции $f(x) = \ln(2x + 3)$:

$f'(x) = (\ln(2x + 3))' = \frac{1}{2x+3} \cdot (2x+3)' = \frac{2}{2x+3}$.

Найдем абсциссу точки касания $x_0$, приравняв производную к угловому коэффициенту:

$f'(x_0) = 2$

$\frac{2}{2x_0 + 3} = 2$

$\frac{1}{2x_0 + 3} = 1$

$2x_0 + 3 = 1$

$2x_0 = -2$

$x_0 = -1$

Проверим, входит ли $x_0 = -1$ в область определения функции $f(x) = \ln(2x+3)$. Область определения: $2x+3 > 0$, то есть $x > -\frac{3}{2}$. Так как $-1 > -1.5$, точка $x_0 = -1$ принадлежит области определения.

Теперь приравняем значения функции и прямой в точке $x_0 = -1$:

$f(x_0) = y(x_0)$

$\ln(2x_0 + 3) = 2x_0 + 3 + a$

Подставим $x_0 = -1$:

$\ln(2 \cdot (-1) + 3) = 2 \cdot (-1) + 3 + a$

$\ln(-2 + 3) = -2 + 3 + a$

$\ln(1) = 1 + a$

Поскольку $\ln(1) = 0$, получаем:

$0 = 1 + a$

$a = -1$

Ответ: $a = -1$.