Номер 19.44, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.44, страница 122.

19.44. a) $y = \ln (x^2 - 2x - 3)$;

б) $y = \ln (3 + 2x - x^2)$.

а)

Для нахождения производной функции $y = \ln(x^2 - 2x - 3)$ мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Общая формула для производной натурального логарифма от функции $u(x)$ выглядит так: $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.

В данном случае, внутренняя функция $u(x) = x^2 - 2x - 3$.

1. Сначала найдем производную внутренней функции $u'(x)$:
$u'(x) = (x^2 - 2x - 3)' = (x^2)' - (2x)' - (3)' = 2x - 2$.

2. Теперь подставим $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу для производной:
$y' = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x - 3}$.

Ответ: $y' = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x - 3}$.

б)

Для нахождения производной функции $y = \ln(3 + 2x - x^2)$ мы также применим цепное правило. Формула остается той же: $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.

Здесь внутренняя функция $u(x) = 3 + 2x - x^2$.

1. Найдем производную внутренней функции $u'(x)$:
$u'(x) = (3 + 2x - x^2)' = (3)' + (2x)' - (x^2)' = 0 + 2 - 2x = 2 - 2x$.

2. Подставим найденные выражения для $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу производной:
$y' = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{2 - 2x}{3 + 2x - x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2 - 2x}{3 + 2x - x^2}$.