Номер 20.16, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.16, страница 126.

20.16. a) $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x;$

Б) $f(x) = 1 + \text{tg}^2 x;$

В) $f(x) = \sin x \cos x;$

Г) $f(x) = 2 + \text{ctg}^2 2x.$

Предполагается, что задача состоит в нахождении производной для каждой из данных функций. Для этого мы сначала упростим выражения, используя тригонометрические тождества, а затем найдем их производные.

а) $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$

Для упрощения функции воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Применив это тождество к нашей функции, получаем:

$f(x) = 1$.

Теперь найдем производную. Производная от константы равна нулю.

$f'(x) = (1)' = 0$.

Ответ: $f'(x) = 0$.

б) $f(x) = 1 + \text{tg}^2 x$

Используем тригонометрическое тождество: $1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Таким образом, функция принимает вид:

$f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} = (\cos x)^{-2}$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции и сложной функции. Пусть $u = \cos x$, тогда $f(u) = u^{-2}$.

$f'(x) = ((\cos x)^{-2})' = -2(\cos x)^{-2-1} \cdot (\cos x)' = -2(\cos x)^{-3} \cdot (-\sin x)$.

Упростим полученное выражение:

$f'(x) = \frac{2 \sin x}{\cos^3 x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2 \sin x}{\cos^3 x}$.

в) $f(x) = \sin x \cos x$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Из этой формулы следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$.

Функция может быть переписана в виде:

$f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x)$.

Найдем производную этой функции, используя правило дифференцирования сложной функции и вынесение константы за знак производной:

$f'(x) = \left(\frac{1}{2} \sin(2x)\right)' = \frac{1}{2} (\sin(2x))' = \frac{1}{2} \cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cos(2x) \cdot 2$.

После сокращения получаем:

$f'(x) = \cos(2x)$.

Ответ: $f'(x) = \cos(2x)$.

г) $f(x) = 2 + \text{ctg}^2 2x$

Сначала преобразуем функцию, используя тригонометрическое тождество $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

$f(x) = 1 + (1 + \text{ctg}^2 2x)$.

Применяя тождество для $\alpha = 2x$, получаем:

$f(x) = 1 + \frac{1}{\sin^2 2x} = 1 + (\sin 2x)^{-2}$.

Теперь найдем производную от полученной функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (1 + (\sin 2x)^{-2})' = (1)' + ((\sin 2x)^{-2})' = 0 - 2(\sin 2x)^{-3} \cdot (\sin 2x)'$.

Производная от $\sin(2x)$ равна $\cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$. Подставим это в наше выражение:

$f'(x) = -2(\sin 2x)^{-3} \cdot (2\cos(2x))$.

Упростим и запишем в виде дроби:

$f'(x) = -\frac{4 \cos(2x)}{\sin^3(2x)}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{4 \cos(2x)}{\sin^3(2x)}$.