Номер 20.21, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.21, страница 127.

20.21. a) $y = \sin x$, $M\left(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{4}\right)$;

б) $y = \frac{5}{\cos^2 5x}$, $M\left(\frac{\pi}{4}; -1\right)$;

в) $y = \cos x$, $M\left(\frac{\pi}{6}; 1\right)$;

г) $y = \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{3}}$, $M\left(\frac{3\pi}{4}; 0\right)$.

а) Задача состоит в нахождении первообразной $F(x)$ для функции $y=\sin x$, график которой проходит через точку $M(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{4})$.
1. Сначала найдем общий вид первообразных для данной функции. Это делается с помощью интегрирования:
$F(x) = \int \sin x \,dx = -\cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
2. Далее, чтобы найти конкретное значение константы $C$, используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{4})$. Это означает, что при $x = \frac{\pi}{3}$ значение функции $F(x)$ равно $\frac{1}{4}$. Подставляем эти значения в полученное выражение для $F(x)$:
$F(\frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) + C = \frac{1}{4}$.
3. Мы знаем, что значение косинуса в этой точке равно $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в уравнение:
$-\frac{1}{2} + C = \frac{1}{4}$.
Решаем уравнение относительно $C$:
$C = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$.
4. Теперь, подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:
$F(x) = -\cos x + \frac{3}{4}$.
Ответ: $F(x) = -\cos x + \frac{3}{4}$.

б) Для функции $y = \frac{5}{\cos^2 5x}$ и точки $M(\frac{\pi}{4}; -1)$ требуется найти соответствующую первообразную $F(x)$.
1. Находим общий вид первообразных путем интегрирования:
$F(x) = \int \frac{5}{\cos^2 5x} dx = 5 \int \frac{dx}{\cos^2 5x}$.
Для вычисления этого интеграла используем табличный интеграл $\int \frac{dx}{\cos^2(kx)} = \frac{1}{k}\tan(kx) + C$. В нашем случае $k=5$.
$F(x) = 5 \cdot (\frac{1}{5}\tan(5x)) + C = \tan(5x) + C$.
2. Подставим координаты точки $M(\frac{\pi}{4}; -1)$ в уравнение $F(x) = \tan(5x) + C$ для нахождения $C$:
$F(\frac{\pi}{4}) = \tan(5 \cdot \frac{\pi}{4}) + C = -1$.
3. Вычислим значение тангенса: $\tan(\frac{5\pi}{4}) = \tan(\pi + \frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Подставляем это значение в уравнение для $C$:
$1 + C = -1$,
$C = -2$.
4. Искомая первообразная:
$F(x) = \tan(5x) - 2$.
Ответ: $F(x) = \tan(5x) - 2$.

в) Для функции $y = \cos x$ и точки $M(\frac{\pi}{6}; 1)$ найдем первообразную $F(x)$.
1. Общий вид первообразных для $y=\cos x$:
$F(x) = \int \cos x \,dx = \sin x + C$.
2. Подставим координаты точки $M(\frac{\pi}{6}; 1)$:
$F(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) + C = 1$.
3. Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение:
$\frac{1}{2} + C = 1$.
Отсюда $C = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
4. Искомая первообразная:
$F(x) = \sin x + \frac{1}{2}$.
Ответ: $F(x) = \sin x + \frac{1}{2}$.

г) Для функции $y = \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{3}}$ и точки $M(\frac{3\pi}{4}; 0)$ найдем первообразную $F(x)$.
1. Находим общий вид первообразных, используя табличный интеграл $\int \frac{dx}{\sin^2(kx)} = -\frac{1}{k}\cot(kx) + C$. В данном случае $k=\frac{1}{3}$.
$F(x) = \int \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{3}} dx = -\frac{1}{1/3}\cot(\frac{x}{3}) + C = -3\cot(\frac{x}{3}) + C$.
2. Подставим координаты точки $M(\frac{3\pi}{4}; 0)$ для нахождения $C$:
$F(\frac{3\pi}{4}) = -3\cot(\frac{1}{3} \cdot \frac{3\pi}{4}) + C = 0$.
$F(\frac{3\pi}{4}) = -3\cot(\frac{\pi}{4}) + C = 0$.
3. Зная, что $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:
$-3 \cdot 1 + C = 0$,
$C = 3$.
4. Искомая первообразная:
$F(x) = -3\cot(\frac{x}{3}) + 3$.
Ответ: $F(x) = -3\cot(\frac{x}{3}) + 3$.