Номер 20.20, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.20, страница 127.

Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через указанную точку M:

20.20. a) $y = 3x^2 - 4x$, M(2; 19);

б) $y = \frac{3}{x^2} + 1$, M(-0,5; -3);

в) $y = 4x^3 + 3x^2$, M(1; -12);

г) $y = 2x - \frac{5}{x^2}$, $M\left(\frac{1}{4}; 7\right)$.

а)

Для функции $y = 3x^2 - 4x$ нужно найти первообразную, график которой проходит через точку $M(2; 19)$.

1. Сначала найдём общий вид первообразной $F(x)$, вычислив неопределённый интеграл от данной функции:

$F(x) = \int (3x^2 - 4x) dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^3 - 2x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Теперь найдём значение константы $C$, используя условие, что график проходит через точку $M(2; 19)$. Это означает, что $F(2) = 19$. Подставим координаты точки в выражение для $F(x)$:

$19 = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + C$

$19 = 8 - 8 + C$

$C = 19$.

3. Подставив найденное значение $C=19$ в общий вид первообразной, получим искомую функцию:

$y = x^3 - 2x^2 + 19$.

Ответ: $y = x^3 - 2x^2 + 19$.

б)

Для функции $y = \frac{3}{x^2} + 1$ нужно найти первообразную, график которой проходит через точку $M(-0,5; -3)$.

1. Найдём общий вид первообразной $F(x)$. Для этого представим функцию в виде $y = 3x^{-2} + 1$ и проинтегрируем:

$F(x) = \int (3x^{-2} + 1) dx = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + x + C = -\frac{3}{x} + x + C$.

2. Найдём значение константы $C$, используя условие, что $F(-0,5) = -3$. Подставим координаты точки $M(-0,5; -3)$:

$-3 = -\frac{3}{-0,5} + (-0,5) + C$

$-3 = 6 - 0,5 + C$

$-3 = 5,5 + C$

$C = -3 - 5,5 = -8,5$.

3. Подставив $C=-8,5$ в общий вид, получаем искомую первообразную:

$y = -\frac{3}{x} + x - 8,5$.

Ответ: $y = -\frac{3}{x} + x - 8,5$.

в)

Для функции $y = 4x^3 + 3x^2$ нужно найти первообразную, график которой проходит через точку $M(1; -12)$.

1. Найдём общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (4x^3 + 3x^2) dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x^4 + x^3 + C$.

2. Найдём значение константы $C$, используя условие, что $F(1) = -12$. Подставим координаты точки $M(1; -12)$:

$-12 = 1^4 + 1^3 + C$

$-12 = 1 + 1 + C$

$-12 = 2 + C$

$C = -12 - 2 = -14$.

3. Подставив $C=-14$ в общий вид, получаем искомую первообразную:

$y = x^4 + x^3 - 14$.

Ответ: $y = x^4 + x^3 - 14$.

г)

Для функции $y = 2x - \frac{5}{x^2}$ нужно найти первообразную, график которой проходит через точку $M(\frac{1}{4}; 7)$.

1. Найдём общий вид первообразной $F(x)$. Для этого представим функцию в виде $y = 2x - 5x^{-2}$ и проинтегрируем:

$F(x) = \int (2x - 5x^{-2}) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 5 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = x^2 + \frac{5}{x} + C$.

2. Найдём значение константы $C$, используя условие, что $F(\frac{1}{4}) = 7$. Подставим координаты точки $M(\frac{1}{4}; 7)$:

$7 = (\frac{1}{4})^2 + \frac{5}{\frac{1}{4}} + C$

$7 = \frac{1}{16} + 5 \cdot 4 + C$

$7 = \frac{1}{16} + 20 + C$

$C = 7 - 20 - \frac{1}{16} = -13 - \frac{1}{16} = -\frac{13 \cdot 16}{16} - \frac{1}{16} = -\frac{208 + 1}{16} = -\frac{209}{16}$.

3. Подставив $C = -\frac{209}{16}$ в общий вид, получаем искомую первообразную:

$y = x^2 + \frac{5}{x} - \frac{209}{16}$.

Ответ: $y = x^2 + \frac{5}{x} - \frac{209}{16}$.