Номер 20.45, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.45, страница 131.

20.45. a) $\int \sin 2x \sin 6x dx;$

б) $\int \sin 4x \cos 3x dx;$

В) $\int \cos 3x \cos 5x dx;$

г) $\int \sin 2x \cos 8x dx.$

а) $\int \sin 2x \sin 6x dx$

Для вычисления этого интеграла используется тригонометрическая формула преобразования произведения синусов в разность косинусов:

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$

В данном случае $\alpha = 2x$ и $\beta = 6x$. Применим формулу к подынтегральному выражению:

$\sin 2x \sin 6x = \frac{1}{2}(\cos(2x - 6x) - \cos(2x + 6x)) = \frac{1}{2}(\cos(-4x) - \cos(8x))$

Поскольку функция косинус является четной, то $\cos(-4x) = \cos(4x)$. Таким образом, выражение упрощается до:

$\frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 8x)$

Теперь мы можем проинтегрировать это выражение:

$\int \frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 8x) dx = \frac{1}{2} \int (\cos 4x - \cos 8x) dx = \frac{1}{2} \left( \int \cos 4x dx - \int \cos 8x dx \right)$

Используя формулу для интеграла от косинуса $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$, получаем:

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{4}\sin 4x - \frac{1}{8}\sin 8x \right) + C = \frac{1}{8}\sin 4x - \frac{1}{16}\sin 8x + C$

Ответ: $\frac{1}{8}\sin 4x - \frac{1}{16}\sin 8x + C$

б) $\int \sin 4x \cos 3x dx$

Для решения этого интеграла применим формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов:

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$

Здесь $\alpha = 4x$ и $\beta = 3x$. Подставляем в формулу:

$\sin 4x \cos 3x = \frac{1}{2}(\sin(4x + 3x) + \sin(4x - 3x)) = \frac{1}{2}(\sin 7x + \sin x)$

Теперь интегрируем полученное выражение:

$\int \frac{1}{2}(\sin 7x + \sin x) dx = \frac{1}{2} \int (\sin 7x + \sin x) dx = \frac{1}{2} \left( \int \sin 7x dx + \int \sin x dx \right)$

Используя формулу для интеграла от синуса $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$, находим:

$\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{7}\cos 7x - \cos x \right) + C = -\frac{1}{14}\cos 7x - \frac{1}{2}\cos x + C$

Ответ: $-\frac{1}{14}\cos 7x - \frac{1}{2}\cos x + C$

в) $\int \cos 3x \cos 5x dx$

Для этого интеграла используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму косинусов:

$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$

В нашем случае $\alpha = 3x$ и $\beta = 5x$. Чтобы избежать отрицательного аргумента, можно поменять их местами, так как умножение коммутативно. Пусть $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$:

$\cos 5x \cos 3x = \frac{1}{2}(\cos(5x - 3x) + \cos(5x + 3x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 8x)$

Интегрируем это выражение:

$\int \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 8x) dx = \frac{1}{2} \int (\cos 2x + \cos 8x) dx = \frac{1}{2} \left( \int \cos 2x dx + \int \cos 8x dx \right)$

Применяем формулу $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$:

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{8}\sin 8x \right) + C = \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{16}\sin 8x + C$

Ответ: $\frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{16}\sin 8x + C$

г) $\int \sin 2x \cos 8x dx$

Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов:

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$

Здесь $\alpha = 2x$ и $\beta = 8x$. Подставляем значения:

$\sin 2x \cos 8x = \frac{1}{2}(\sin(2x + 8x) + \sin(2x - 8x)) = \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin(-6x))$

Так как синус — нечетная функция, $\sin(-6x) = -\sin(6x)$. Получаем:

$\frac{1}{2}(\sin 10x - \sin 6x)$

Теперь интегрируем:

$\int \frac{1}{2}(\sin 10x - \sin 6x) dx = \frac{1}{2} \int (\sin 10x - \sin 6x) dx = \frac{1}{2} \left( \int \sin 10x dx - \int \sin 6x dx \right)$

Используя формулу $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$, находим результат:

$\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{10}\cos 10x - \left(-\frac{1}{6}\cos 6x\right) \right) + C = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{10}\cos 10x + \frac{1}{6}\cos 6x \right) + C = \frac{1}{12}\cos 6x - \frac{1}{20}\cos 10x + C$

Ответ: $\frac{1}{12}\cos 6x - \frac{1}{20}\cos 10x + C$