Номер 21.9, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.9, страница 132.

21.9. Вычислите интеграл:

a) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \cos 3x dx$

б) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \cos^2 \frac{x}{2} dx$

в) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos 7x \cos 5x dx$

г) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 3x dx$

а) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \cos 3x \,dx$

Для вычисления этого интеграла используем тригонометрическую формулу преобразования произведения в сумму: $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$.

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = 3x$. Подставляем в формулу:

$\sin 2x \cos 3x = \frac{1}{2}(\sin(2x + 3x) + \sin(2x - 3x)) = \frac{1}{2}(\sin 5x + \sin(-x)) = \frac{1}{2}(\sin 5x - \sin x)$.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}(\sin 5x - \sin x) \,dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin 5x - \sin x) \,dx$

Найдем первообразную. Первообразная для $\sin(kx)$ равна $-\frac{1}{k}\cos(kx)$.

$\frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{5}\cos 5x - (-\cos x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left[ \cos x - \frac{1}{5}\cos 5x \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} \left( \left( \cos \frac{\pi}{2} - \frac{1}{5}\cos \frac{5\pi}{2} \right) - \left( \cos 0 - \frac{1}{5}\cos 0 \right) \right)$

Так как $\cos \frac{\pi}{2} = 0$, $\cos \frac{5\pi}{2} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos 0 = 1$, получаем:

$\frac{1}{2} \left( (0 - \frac{1}{5} \cdot 0) - (1 - \frac{1}{5} \cdot 1) \right) = \frac{1}{2} \left( 0 - (1 - \frac{1}{5}) \right) = \frac{1}{2} ( - \frac{4}{5} ) = -\frac{2}{5}$.

Ответ: $-\frac{2}{5}$.

б) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \cos^2 \frac{x}{2} \,dx$

Для вычисления этого интеграла используем формулу понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому $2\alpha = x$. Формула принимает вид:

$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$.

Подставляем в интеграл:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \frac{1 + \cos x}{2} \,dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} (1 + \cos x) \,dx$

Находим первообразную:

$\frac{1}{2} \left[ x + \sin x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} \left( (\pi + \sin \pi) - (\frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4}) \right)$

Так как $\sin \pi = 0$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2} \left( (\pi + 0) - (\frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}) \right) = \frac{1}{2} \left( \pi - \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{3\pi}{8} - \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{8} - \frac{\sqrt{2}}{4}$.

в) $\int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos 7x \cos 5x \,dx$

Используем тригонометрическую формулу преобразования произведения в сумму: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

Здесь $\alpha = 7x$ и $\beta = 5x$. Подставляем:

$\cos 7x \cos 5x = \frac{1}{2}(\cos(7x - 5x) + \cos(7x + 5x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 12x)$.

Интегрируем полученное выражение:

$\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 12x) \,dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{3}} (\cos 2x + \cos 12x) \,dx$

Первообразная для $\cos(kx)$ равна $\frac{1}{k}\sin(kx)$.

$\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{12}\sin 12x \right]_0^{\frac{\pi}{3}}$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{2}\sin(2\frac{\pi}{3}) + \frac{1}{12}\sin(12\frac{\pi}{3}) \right) - \left( \frac{1}{2}\sin 0 + \frac{1}{12}\sin 0 \right) \right)$

Вычисляем значения синусов: $\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(4\pi) = 0$ и $\sin 0 = 0$.

$\frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{12} \cdot 0 \right) - (0) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{8}$.

г) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 3x \,dx$

Для вычисления интеграла применим формулу понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае $\alpha = 3x$, поэтому $2\alpha = 6x$. Формула выглядит так:

$\sin^2 3x = \frac{1 - \cos 6x}{2}$.

Подставляем в интеграл:

$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 - \cos 6x}{2} \,dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} (1 - \cos 6x) \,dx$

Находим первообразную:

$\frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{6}\sin 6x \right]_{-\pi}^{\pi}$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} \left( \left( \pi - \frac{1}{6}\sin(6\pi) \right) - \left( -\pi - \frac{1}{6}\sin(-6\pi) \right) \right)$

Так как $\sin(6\pi) = 0$ и $\sin(-6\pi) = 0$, получаем:

$\frac{1}{2} \left( (\pi - 0) - (-\pi - 0) \right) = \frac{1}{2} (\pi - (-\pi)) = \frac{1}{2} (2\pi) = \pi$.

Ответ: $\pi$.