Номер 21.13, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.13, страница 133.

21.13. a) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) \cos(2\pi - x)}{\operatorname{tg}^2\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \cos^2\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)} dx;$

б) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\operatorname{tg}^2\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \operatorname{ctg}^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)}{\cos^2(\pi - x) + \sin^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \cos(\pi + x) \cos(2\pi - x)} dx;$

в) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin(\pi - x)}{\operatorname{tg}(\pi - x)} \cdot \frac{\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + x\right)} \cdot \frac{\cos(2\pi - x)}{\sin(-x)} dx;$

г) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \operatorname{tg}(\pi - x)}{\cos^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \cos(\pi + x) \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)} dx.$

а) Вычислим интеграл $\int_{\pi/6}^{\pi/4} \frac{\sin^2(x - \frac{3\pi}{2}) \cos(2\pi - x)}{\text{tg}^2(x - \frac{\pi}{2}) \cos^2(x - \frac{3\pi}{2})} dx$.

Сначала упростим подынтегральное выражение, используя формулы приведения.

Преобразуем тригонометрические функции в числителе:

$\sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(-\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -(-\cos x) = \cos x$. Следовательно, $\sin^2\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos^2 x$.

$\cos(2\pi - x) = \cos x$.

Преобразуем тригонометрические функции в знаменателе:

$\text{tg}\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \text{tg}\left(-\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\text{ctg} x$. Следовательно, $\text{tg}^2\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = (-\text{ctg} x)^2 = \text{ctg}^2 x$.

$\cos\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(-\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x$. Следовательно, $\cos^2\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$.

Подставим упрощенные выражения в подынтегральную функцию:

$\frac{\cos^2 x \cdot \cos x}{\text{ctg}^2 x \cdot \sin^2 x} = \frac{\cos^3 x}{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \cdot \sin^2 x} = \frac{\cos^3 x}{\cos^2 x} = \cos x.$

Теперь вычислим определенный интеграл:

$\int_{\pi/6}^{\pi/4} \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_{\pi/6}^{\pi/4} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}.$

Ответ: $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$.

б) Вычислим интеграл $\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{\text{tg}^2(x - \frac{\pi}{2}) \text{ctg}^2(\frac{3\pi}{2} + x)}{\cos^2(\pi - x) + \sin^2(\frac{\pi}{2} - x) + \cos(\pi + x)\cos(2\pi - x)} dx$.

Упростим подынтегральное выражение. Сначала числитель:

$\text{tg}\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\text{ctg} x \implies \text{tg}^2\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \text{ctg}^2 x$.

$\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\text{tg} x \implies \text{ctg}^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \text{tg}^2 x$.

Числитель равен $\text{ctg}^2 x \cdot \text{tg}^2 x = 1$.

Теперь упростим знаменатель:

$\cos^2(\pi - x) = (-\cos x)^2 = \cos^2 x$.

$\sin^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = (\cos x)^2 = \cos^2 x$.

$\cos(\pi + x) = -\cos x$.

$\cos(2\pi - x) = \cos x$.

Знаменатель равен $\cos^2 x + \cos^2 x + (-\cos x)(\cos x) = 2\cos^2 x - \cos^2 x = \cos^2 x$.

Таким образом, подынтегральное выражение равно $\frac{1}{\cos^2 x}$.

Вычислим интеграл:

$\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{1}{\cos^2 x} dx = \left[ \text{tg} x \right]_{\pi/4}^{\pi/3} = \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3} - 1.$

Ответ: $\sqrt{3} - 1$.

в) Вычислим интеграл $\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{\sin(\pi - x)}{\text{tg}(\pi - x)} \cdot \frac{\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - x)}{\text{tg}(\frac{\pi}{2} + x)} \cdot \frac{\cos(2\pi - x)}{\sin(-x)} dx$.

Упростим подынтегральное выражение, используя формулы приведения для каждого сомножителя:

$\sin(\pi - x) = \sin x$

$\text{tg}(\pi - x) = -\text{tg} x$

$\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \text{tg} x$

$\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\text{ctg} x$

$\cos(2\pi - x) = \cos x$

$\sin(-x) = -\sin x$

Подставим упрощенные выражения:

$\frac{\sin x}{-\text{tg} x} \cdot \frac{\text{tg} x}{-\text{ctg} x} \cdot \frac{\cos x}{-\sin x} = \frac{\sin x \cdot \text{tg} x \cdot \cos x}{(-\text{tg} x) \cdot (-\text{ctg} x) \cdot (-\sin x)} = \frac{\sin x \cdot \text{tg} x \cdot \cos x}{-(\text{tg} x \cdot \text{ctg} x) \cdot \sin x}.$

Так как $\text{tg} x \cdot \text{ctg} x = 1$, выражение упрощается до:

$\frac{\sin x \cdot \text{tg} x \cdot \cos x}{-\sin x} = - \text{tg} x \cdot \cos x = - \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = -\sin x.$

Вычислим интеграл:

$\int_{\pi/4}^{\pi/3} (-\sin x) dx = \left[ \cos x \right]_{\pi/4}^{\pi/3} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}.$

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{2}}{2}$.

г) Вычислим интеграл $\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{\sin(\frac{3\pi}{2} - x) \text{tg}(\pi - x)}{\cos^2(\frac{\pi}{2} - x) \cos(\pi + x) \text{tg}(\frac{3\pi}{2} + x)} dx$.

Упростим подынтегральное выражение. Сначала числитель:

$\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos x$.

$\text{tg}(\pi - x) = -\text{tg} x$.

Числитель равен $(-\cos x)(-\text{tg} x) = \cos x \cdot \text{tg} x = \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x$.

Теперь упростим знаменатель:

$\cos^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = (\sin x)^2 = \sin^2 x$.

$\cos(\pi + x) = -\cos x$.

$\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\text{ctg} x$.

Знаменатель равен $\sin^2 x \cdot (-\cos x) \cdot (-\text{ctg} x) = \sin^2 x \cdot \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \sin x \cos^2 x$.

Таким образом, подынтегральное выражение равно $\frac{\sin x}{\sin x \cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Вычислим интеграл:

$\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{1}{\cos^2 x} dx = \left[ \text{tg} x \right]_{\pi/4}^{\pi/3} = \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3} - 1.$

Ответ: $\sqrt{3} - 1$.