Номер 21.20, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.20, страница 135.

21.20. Вычислите:

a) $\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(x) dx$, где $f(x) = \begin{cases} \frac{2}{\cos^2 2x} - 1, & \text{если } x < 0, \\ \sin \frac{x}{2}, & \text{если } x \ge 0; \end{cases}$

б) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{3} f(x) dx$, где $f(x) = \begin{cases} -\sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right), & \text{если } x \le 0, \\ \frac{1}{\sqrt{x+1}}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

а)

Для вычисления интеграла $\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(x) dx$, где функция $f(x)$ задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} \frac{2}{\cos^2 2x} - 1, & \text{если } x < 0 \\ \sin \frac{x}{2}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$, необходимо разбить интеграл на два в точке $x=0$, так как в этой точке меняется аналитическое выражение для функции.

$\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(x) dx = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} f(x) dx$

Подставим соответствующие выражения для $f(x)$ в каждый из интегралов:
$\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(x) dx = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{0} \left(\frac{2}{\cos^2 2x} - 1\right) dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin \frac{x}{2} dx$

Вычислим первый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Первообразная для $\frac{1}{\cos^2(2x)}$ есть $\frac{1}{2}\tan(2x)$, а для $1$ — $x$.
$\int_{-\frac{\pi}{6}}^{0} \left(\frac{2}{\cos^2 2x} - 1\right) dx = \left[2 \cdot \frac{1}{2}\tan(2x) - x\right]_{-\frac{\pi}{6}}^{0} = [\tan(2x) - x]_{-\frac{\pi}{6}}^{0}$
$= (\tan(2 \cdot 0) - 0) - (\tan(2 \cdot (-\frac{\pi}{6})) - (-\frac{\pi}{6}))$
$= (0 - 0) - (\tan(-\frac{\pi}{3}) + \frac{\pi}{6}) = -(-\sqrt{3} + \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{6}$

Вычислим второй интеграл. Первообразная для $\sin(\frac{x}{2})$ есть $-2\cos(\frac{x}{2})$.
$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin \frac{x}{2} dx = \left[-2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$
$= \left(-2\cos\left(\frac{\pi/3}{2}\right)\right) - \left(-2\cos\left(\frac{0}{2}\right)\right) = -2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - (-2\cos(0))$
$= -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot 1 = -\sqrt{3} + 2$

Теперь сложим значения двух интегралов, чтобы найти итоговый результат:
$(\sqrt{3} - \frac{\pi}{6}) + (-\sqrt{3} + 2) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{6} - \sqrt{3} + 2 = 2 - \frac{\pi}{6}$

Ответ: $2 - \frac{\pi}{6}$

---

б)

Для вычисления интеграла $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{3} f(x) dx$, где функция $f(x)$ задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} -\sin(x - \frac{\pi}{2}), & \text{если } x \le 0 \\ \frac{1}{\sqrt{x+1}}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$, также разобьем интеграл на два в точке $x=0$.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{3} f(x) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{3} f(x) dx$

Подставим соответствующие выражения для $f(x)$:
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{3} f(x) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (-\sin(x - \frac{\pi}{2})) dx + \int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx$

Упростим подынтегральную функцию в первом интеграле, используя формулы приведения:
$-\sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\sin(-(\frac{\pi}{2} - x)) = \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$

Теперь вычислим первый интеграл:
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos x dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = \sin(0) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - (-1) = 1$

Вычислим второй интеграл. Запишем подынтегральную функцию в виде $(x+1)^{-\frac{1}{2}}$. Её первообразная равна $\frac{(x+1)^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x+1}$.
$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx = \int_{0}^{3} (x+1)^{-\frac{1}{2}} dx = [2\sqrt{x+1}]_{0}^{3}$
$= 2\sqrt{3+1} - 2\sqrt{0+1} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4 - 2 = 2$

Сложим полученные значения:
$1 + 2 = 3$

Ответ: $3$