Номер 21.18, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.18, страница 134.

21.18. a) $ \int_{3}^{6} \frac{dx}{2x - 1}; $

б) $ \int_{-1}^{0} \frac{dx}{-5x + 6}; $

в) $ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4x + 1} dx; $

г) $ \int_{5}^{8} \frac{dx}{9 - x}. $

а) Для вычисления определенного интеграла $ \int_{3}^{6} \frac{dx}{2x - 1} $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для функции $ f(x) $.
Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = \frac{1}{2x - 1} $. Это табличный интеграл вида $ \int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C $.
В нашем случае $ a=2 $, $ b=-1 $, следовательно, первообразная $ F(x) = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| $.
Подставим пределы интегрирования:
$ \int_{3}^{6} \frac{dx}{2x - 1} = \left. \frac{1}{2}\ln|2x - 1| \right|_{3}^{6} = \frac{1}{2}\ln|2 \cdot 6 - 1| - \frac{1}{2}\ln|2 \cdot 3 - 1| = \frac{1}{2}\ln|11| - \frac{1}{2}\ln|5| $.
Используя свойство логарифмов $ \ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b} $, получим:
$ \frac{1}{2}(\ln 11 - \ln 5) = \frac{1}{2}\ln\frac{11}{5} $.
Ответ: $ \frac{1}{2}\ln\frac{11}{5} $.

б) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^{0} \frac{dx}{-5x + 6} $.
Подынтегральная функция имеет вид $ f(x) = \frac{1}{-5x+6} $. Найдем ее первообразную по формуле $ \int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C $.
Здесь $ a=-5 $, $ b=6 $. Первообразная равна $ F(x) = \frac{1}{-5}\ln|-5x + 6| = -\frac{1}{5}\ln|-5x + 6| $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{-1}^{0} \frac{dx}{-5x + 6} = \left. -\frac{1}{5}\ln|-5x + 6| \right|_{-1}^{0} = \left(-\frac{1}{5}\ln|-5 \cdot 0 + 6|\right) - \left(-\frac{1}{5}\ln|-5 \cdot (-1) + 6|\right) $.
$ = -\frac{1}{5}\ln|6| - \left(-\frac{1}{5}\ln|5 + 6|\right) = -\frac{1}{5}\ln 6 + \frac{1}{5}\ln 11 = \frac{1}{5}(\ln 11 - \ln 6) = \frac{1}{5}\ln\frac{11}{6} $.
Ответ: $ \frac{1}{5}\ln\frac{11}{6} $.

в) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4x + 1}dx $.
Найдем первообразную для функции $ f(x) = \frac{1}{4x + 1} $, используя ту же формулу.
В данном случае $ a=4 $, $ b=1 $. Первообразная $ F(x) = \frac{1}{4}\ln|4x + 1| $.
Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{4x + 1} = \left. \frac{1}{4}\ln|4x + 1| \right|_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}\ln\left|4 \cdot \frac{1}{2} + 1\right| - \frac{1}{4}\ln|4 \cdot 0 + 1| $.
$ = \frac{1}{4}\ln|2 + 1| - \frac{1}{4}\ln|1| = \frac{1}{4}\ln 3 - \frac{1}{4} \cdot 0 = \frac{1}{4}\ln 3 $.
Ответ: $ \frac{1}{4}\ln 3 $.

г) Вычислим интеграл $ \int_{5}^{8} \frac{dx}{9 - x} $.
Подынтегральная функция $ f(x) = \frac{1}{9-x} = \frac{1}{-x+9} $.
Находим первообразную. Здесь $ a=-1 $, $ b=9 $. $ F(x) = \frac{1}{-1}\ln|9-x| = -\ln|9-x| $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{5}^{8} \frac{dx}{9 - x} = \left. -\ln|9 - x| \right|_{5}^{8} = (-\ln|9 - 8|) - (-\ln|9 - 5|) $.
$ = -\ln|1| - (-\ln|4|) = -0 + \ln 4 = \ln 4 $.
Ответ: $ \ln 4 $.