Номер 21.21, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.21, страница 135.

21.21. Вычислите $\int_{0}^{2} f(x) dx$, если:

a) $f(x) = \begin{cases} 4^x, & x \le 1, \\ 4x^3, & x > 1; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & 0 \le x \le 1, \\ \frac{1}{x}, & x > 1. \end{cases}$

а)

Для вычисления определенного интеграла $\int_0^2 f(x) dx$ от кусочно-заданной функции, необходимо разбить интервал интегрирования $[0, 2]$ на части в точке, где функция меняет свое определение, то есть в точке $x=1$. Согласно свойству аддитивности определенного интеграла, мы можем представить его в виде суммы двух интегралов:

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx + \int_1^2 f(x) dx$

На интервале $[0, 1]$ (где $x \le 1$), функция задана как $f(x) = 4^x$.
На интервале $(1, 2]$ (где $x > 1$), функция задана как $f(x) = 4x^3$.

Подставим соответствующие выражения для функции в каждый из интегралов:

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 4^x dx + \int_1^2 4x^3 dx$

Теперь вычислим каждый интеграл по отдельности, используя формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b g(x) dx = G(b) - G(a)$, где $G(x)$ — первообразная для $g(x)$.

1. Вычисляем первый интеграл:
Первообразная для $4^x$ равна $\frac{4^x}{\ln 4}$.
$\int_0^1 4^x dx = \left[ \frac{4^x}{\ln 4} \right]_0^1 = \frac{4^1}{\ln 4} - \frac{4^0}{\ln 4} = \frac{4}{\ln 4} - \frac{1}{\ln 4} = \frac{3}{\ln 4}$.

2. Вычисляем второй интеграл:
Первообразная для $4x^3$ равна $4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$.
$\int_1^2 4x^3 dx = \left[ x^4 \right]_1^2 = 2^4 - 1^4 = 16 - 1 = 15$.

Складываем полученные значения, чтобы найти итоговый результат:
$\int_0^2 f(x) dx = \frac{3}{\ln 4} + 15$.

Ответ: $15 + \frac{3}{\ln 4}$

б)

Аналогично пункту а), разобьем интеграл $\int_0^2 f(x) dx$ на два, так как функция $f(x)$ меняет свое аналитическое выражение в точке $x=1$.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx + \int_1^2 f(x) dx$

На интервале $[0, 1]$, функция задана как $f(x) = \sqrt{x}$.
На интервале $(1, 2]$, функция задана как $f(x) = \frac{1}{x}$.

Подставим соответствующие выражения в интегралы:

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 \sqrt{x} dx + \int_1^2 \frac{1}{x} dx$

Вычислим каждый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница.

1. Вычисляем первый интеграл. Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$:
Первообразная для $x^{1/2}$ равна $\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.
$\int_0^1 x^{1/2} dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{2}{3}(0)^{3/2} = \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3}$.

2. Вычисляем второй интеграл:
Первообразная для $\frac{1}{x}$ равна $\ln|x|$.
$\int_1^2 \frac{1}{x} dx = \left[ \ln|x| \right]_1^2 = \ln|2| - \ln|1| = \ln 2 - 0 = \ln 2$.
(На интервале $[1, 2]$ значение $x$ положительно, поэтому знак модуля можно опустить).

Складываем полученные результаты:
$\int_0^2 f(x) dx = \frac{2}{3} + \ln 2$.

Ответ: $\frac{2}{3} + \ln 2$