Номер 21.26, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.26, страница 137.

21.26. Вычислите интеграл:

a) $\int_{-2}^{1} f(x) d x$, если график функции $y = f(x)$ (парабола) изображён на рис. 5;

б) $\int_{-1}^{2} f(x) d x$, если график функции $y = f(x)$ (парабола) изображён на рис. 6.

Рис. 5

Рис. 6

a) Для вычисления интеграла $\int_{-2}^{1} f(x)dx$ необходимо сначала найти уравнение параболы $y = f(x)$, изображенной на рис. 5.

Из графика видно, что вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$. Общее уравнение параболы с вершиной в точке $(x_v, y_v)$ имеет вид $y = a(x - x_v)^2 + y_v$. Подставив координаты вершины, получим: $y = a(x - (-1))^2 + (-1) = a(x+1)^2 - 1$.

Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся еще одной точкой на графике, например, $(0, 0)$. Подставим ее координаты в уравнение: $0 = a(0+1)^2 - 1$ $0 = a \cdot 1 - 1$ $a = 1$

Таким образом, уравнение параболы: $f(x) = 1 \cdot (x+1)^2 - 1 = x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 + 2x$.

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{-2}^{1} (x^2 + 2x)dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{1} = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{-2}^{1}$

Подставим пределы интегрирования: $\left( \frac{1^3}{3} + 1^2 \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 \right) = \left( \frac{1}{3} + 1 \right) - \left( \frac{-8}{3} + 4 \right) = \frac{4}{3} - \left( \frac{-8+12}{3} \right) = \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = 0$.

Ответ: 0

б) Аналогично, для вычисления интеграла $\int_{-1}^{2} f(x)dx$ найдем уравнение параболы $y = f(x)$, изображенной на рис. 6.

Из графика видно, что парабола проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 1)$ и $(2, 1)$. Запишем уравнение параболы в общем виде $y = ax^2 + bx + c$ и составим систему уравнений, подставляя координаты этих точек.

Для точки $(0, 1)$: $a(0)^2 + b(0) + c = 1 \implies c = 1$.

Для точки $(-1, -1)$: $a(-1)^2 + b(-1) + 1 = -1 \implies a - b + 1 = -1 \implies a - b = -2$.

Для точки $(2, 1)$: $a(2)^2 + b(2) + 1 = 1 \implies 4a + 2b + 1 = 1 \implies 4a + 2b = 0 \implies 2a + b = 0$.

Решим систему уравнений: $\begin{cases} a - b = -2 \\ 2a + b = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b$: $b = -2a$. Подставим в первое уравнение: $a - (-2a) = -2 \implies 3a = -2 \implies a = -\frac{2}{3}$.

Тогда $b = -2 \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$.

Уравнение параболы: $f(x) = -\frac{2}{3}x^2 + \frac{4}{3}x + 1$.

Вычислим определенный интеграл: $\int_{-1}^{2} \left(-\frac{2}{3}x^2 + \frac{4}{3}x + 1\right)dx = \left[ -\frac{2}{3}\frac{x^3}{3} + \frac{4}{3}\frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{2} = \left[ -\frac{2}{9}x^3 + \frac{2}{3}x^2 + x \right]_{-1}^{2}$

Подставим пределы интегрирования: $\left( -\frac{2}{9}(2)^3 + \frac{2}{3}(2)^2 + 2 \right) - \left( -\frac{2}{9}(-1)^3 + \frac{2}{3}(-1)^2 + (-1) \right) = \left( -\frac{16}{9} + \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( \frac{2}{9} + \frac{2}{3} - 1 \right)$

Приведем дроби к общему знаменателю: $\left( -\frac{16}{9} + \frac{24}{9} + \frac{18}{9} \right) - \left( \frac{2}{9} + \frac{6}{9} - \frac{9}{9} \right) = \frac{-16+24+18}{9} - \frac{2+6-9}{9} = \frac{26}{9} - \left(-\frac{1}{9}\right) = \frac{26}{9} + \frac{1}{9} = \frac{27}{9} = 3$.

Ответ: 3