Страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите интеграл:

21.14. а) $\int_{0}^{4} \sqrt{x(x+1)} dx;$

В) $\int_{\frac{2}{3}}^{11} 5 \cdot \sqrt[5]{3x - 1} dx;$

б) $\int_{-1}^{0} \sqrt[3]{1 - 2x} dx;$

Г) $\int_{2}^{3} (5x - 7)^{-\frac{2}{3}} dx.$

а) $ \int_{0}^{4} \sqrt{x}(x + 1) dx $

Сначала упростим подынтегральное выражение, раскрыв скобки:

$ \sqrt{x}(x + 1) = x^{1/2} \cdot x + x^{1/2} \cdot 1 = x^{3/2} + x^{1/2} $

Теперь найдем первообразную для этого выражения, используя формулу $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $:

$ \int (x^{3/2} + x^{1/2}) dx = \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} + \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{x^{5/2}}{5/2} + \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} $

Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная:

$ \int_{0}^{4} (x^{3/2} + x^{1/2}) dx = \left. \left( \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} \right) \right|_{0}^{4} $

Вычислим значение в верхнем пределе ($ x=4 $):

$ \frac{2}{5}(4)^{5/2} + \frac{2}{3}(4)^{3/2} = \frac{2}{5}(\sqrt{4})^5 + \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 = \frac{2}{5}(2)^5 + \frac{2}{3}(2)^3 = \frac{2}{5} \cdot 32 + \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{64}{5} + \frac{16}{3} $

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{64 \cdot 3}{15} + \frac{16 \cdot 5}{15} = \frac{192 + 80}{15} = \frac{272}{15} $

Значение в нижнем пределе ($ x=0 $) равно нулю: $ \frac{2}{5}(0)^{5/2} + \frac{2}{3}(0)^{3/2} = 0 $.

Итоговый результат: $ \frac{272}{15} - 0 = \frac{272}{15} $.

Ответ: $ \frac{272}{15} $

б) $ \int_{-1}^{0} \sqrt[3]{1-2x} dx $

Выполним замену переменной. Пусть $ t = 1-2x $. Тогда $ dt = -2dx $, откуда $ dx = -\frac{1}{2}dt $.

Найдем новые пределы интегрирования:

Если $ x = -1 $, то $ t = 1 - 2(-1) = 3 $.

Если $ x = 0 $, то $ t = 1 - 2(0) = 1 $.

Подставим все в интеграл:

$ \int_{-1}^{0} \sqrt[3]{1-2x} dx = \int_{3}^{1} \sqrt[3]{t} \left(-\frac{1}{2}dt\right) = -\frac{1}{2} \int_{3}^{1} t^{1/3} dt $

Используем свойство определенного интеграла $ \int_{a}^{b} f(x)dx = -\int_{b}^{a} f(x)dx $, чтобы поменять пределы интегрирования:

$ \frac{1}{2} \int_{1}^{3} t^{1/3} dt $

Теперь вычислим интеграл:

$ \frac{1}{2} \left. \left( \frac{t^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} \right) \right|_{1}^{3} = \frac{1}{2} \left. \left( \frac{t^{4/3}}{4/3} \right) \right|_{1}^{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \left. t^{4/3} \right|_{1}^{3} = \frac{3}{8} \left. t^{4/3} \right|_{1}^{3} $

Подставим пределы:

$ \frac{3}{8} (3^{4/3} - 1^{4/3}) = \frac{3}{8} (3\sqrt[3]{3} - 1) $

Ответ: $ \frac{3}{8}(3\sqrt[3]{3} - 1) $

в) $ \int_{2/3}^{11} 5 \cdot \sqrt[5]{3x-1} dx $

Вынесем константу за знак интеграла и выполним замену переменной. Пусть $ t = 3x-1 $. Тогда $ dt = 3dx $, откуда $ dx = \frac{1}{3}dt $.

Найдем новые пределы интегрирования:

Если $ x = 2/3 $, то $ t = 3(2/3) - 1 = 2-1 = 1 $.

Если $ x = 11 $, то $ t = 3(11) - 1 = 33-1 = 32 $.

Подставим в интеграл:

$ 5 \int_{2/3}^{11} \sqrt[5]{3x-1} dx = 5 \int_{1}^{32} \sqrt[5]{t} \left(\frac{1}{3}dt\right) = \frac{5}{3} \int_{1}^{32} t^{1/5} dt $

Вычислим интеграл:

$ \frac{5}{3} \left. \left( \frac{t^{1/5 + 1}}{1/5 + 1} \right) \right|_{1}^{32} = \frac{5}{3} \left. \left( \frac{t^{6/5}}{6/5} \right) \right|_{1}^{32} = \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{6} \left. t^{6/5} \right|_{1}^{32} = \frac{25}{18} \left. t^{6/5} \right|_{1}^{32} $

Подставим пределы:

$ \frac{25}{18} (32^{6/5} - 1^{6/5}) = \frac{25}{18} ((\sqrt[5]{32})^6 - 1) = \frac{25}{18} (2^6 - 1) = \frac{25}{18} (64 - 1) = \frac{25}{18} \cdot 63 $

Сократим дробь ($63 = 9 \cdot 7$, $18 = 9 \cdot 2$):

$ \frac{25 \cdot 63}{18} = \frac{25 \cdot 7}{2} = \frac{175}{2} = 87.5 $

Ответ: $ \frac{175}{2} $

г) $ \int_{2}^{3} (5x-7)^{-2/3} dx $

Выполним замену переменной. Пусть $ t = 5x-7 $. Тогда $ dt = 5dx $, откуда $ dx = \frac{1}{5}dt $.

Найдем новые пределы интегрирования:

Если $ x = 2 $, то $ t = 5(2) - 7 = 10-7 = 3 $.

Если $ x = 3 $, то $ t = 5(3) - 7 = 15-7 = 8 $.

Подставим в интеграл:

$ \int_{2}^{3} (5x-7)^{-2/3} dx = \int_{3}^{8} t^{-2/3} \left(\frac{1}{5}dt\right) = \frac{1}{5} \int_{3}^{8} t^{-2/3} dt $

Вычислим интеграл:

$ \frac{1}{5} \left. \left( \frac{t^{-2/3 + 1}}{-2/3 + 1} \right) \right|_{3}^{8} = \frac{1}{5} \left. \left( \frac{t^{1/3}}{1/3} \right) \right|_{3}^{8} = \frac{1}{5} \cdot 3 \left. t^{1/3} \right|_{3}^{8} = \frac{3}{5} \left. t^{1/3} \right|_{3}^{8} $

Подставим пределы:

$ \frac{3}{5} (8^{1/3} - 3^{1/3}) = \frac{3}{5} (\sqrt[3]{8} - \sqrt[3]{3}) = \frac{3}{5} (2 - \sqrt[3]{3}) $

Ответ: $ \frac{3}{5}(2 - \sqrt[3]{3}) $

21.15. а) $\int_0^1 e^x dx;$

б) $\int_{-1}^1 3e^x dx;$

в) $\int_{-1}^0 \frac{1}{2} e^x dx;$

г) $\int_{-2}^1 -2e^x dx.$

Для решения всех задач используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$. Первообразной для функции $f(x) = e^x$ является функция $F(x) = e^x$.

а) $\int_{0}^{1} e^x dx$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница с первообразной $F(x) = e^x$ и пределами интегрирования от 0 до 1:

$\int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1$.

Ответ: $e - 1$.

б) $\int_{-1}^{1} 3e^x dx$

Выносим константу 3 за знак интеграла:

$3 \int_{-1}^{1} e^x dx$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница с первообразной $F(x) = e^x$ и пределами интегрирования от -1 до 1:

$3 [e^x]_{-1}^{1} = 3(e^1 - e^{-1}) = 3(e - \frac{1}{e})$.

Ответ: $3(e - \frac{1}{e})$.

в) $\int_{-1}^{0} \frac{1}{2}e^x dx$

Выносим константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла:

$\frac{1}{2} \int_{-1}^{0} e^x dx$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница с первообразной $F(x) = e^x$ и пределами интегрирования от -1 до 0:

$\frac{1}{2} [e^x]_{-1}^{0} = \frac{1}{2}(e^0 - e^{-1}) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{e})$.

Ответ: $\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{e})$.

г) $\int_{-2}^{1} -2e^x dx$

Выносим константу -2 за знак интеграла:

$-2 \int_{-2}^{1} e^x dx$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница с первообразной $F(x) = e^x$ и пределами интегрирования от -2 до 1:

$-2 [e^x]_{-2}^{1} = -2(e^1 - e^{-2}) = -2(e - \frac{1}{e^2})$.

Ответ: $-2(e - \frac{1}{e^2})$.

21.16. a) $\int_0^4 e^{0,5x-1}dx$;

б) $\int_{-1}^1 e^{2x+1}dx$;

В) $\int_{-4}^4 e^{0,25x+1}dx$;

Г) $\int_{-0,5}^0 e^{-2x+2}dx.$

а) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{4} e^{0.5x-1} dx$.

Для вычисления данного интеграла воспользуемся общей формулой для нахождения первообразной функции вида $e^{kx+c}$, которая имеет вид $F(x) = \frac{1}{k}e^{kx+c}$.

В нашем случае, подынтегральная функция $f(x) = e^{0.5x-1}$. Здесь коэффициент $k=0.5$, а свободный член в показателе $c=-1$.

Найдем первообразную:

$F(x) = \int e^{0.5x-1} dx = \frac{1}{0.5}e^{0.5x-1} = 2e^{0.5x-1}$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$ для вычисления определенного интеграла с пределами интегрирования от $0$ до $4$.

$\int_{0}^{4} e^{0.5x-1} dx = \left[ 2e^{0.5x-1} \right]_{0}^{4} = 2e^{0.5 \cdot 4 - 1} - 2e^{0.5 \cdot 0 - 1} = 2e^{2-1} - 2e^{0-1} = 2e^1 - 2e^{-1} = 2e - \frac{2}{e}$.

Ответ: $2e - \frac{2}{e}$.

б) Вычислим определенный интеграл $\int_{-1}^{1} e^{2x+1} dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = e^{2x+1}$. Здесь коэффициент $k=2$, а $c=1$.

Первообразная для данной функции:

$F(x) = \int e^{2x+1} dx = \frac{1}{2}e^{2x+1}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования от $-1$ до $1$.

$\int_{-1}^{1} e^{2x+1} dx = \left[ \frac{1}{2}e^{2x+1} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1 + 1} - \frac{1}{2}e^{2 \cdot (-1) + 1} = \frac{1}{2}e^{3} - \frac{1}{2}e^{-2+1} = \frac{1}{2}e^3 - \frac{1}{2}e^{-1} = \frac{1}{2}(e^3 - \frac{1}{e})$.

Ответ: $\frac{1}{2}(e^3 - \frac{1}{e})$.

в) Вычислим определенный интеграл $\int_{-4}^{4} e^{0.25x+1} dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = e^{0.25x+1}$. Здесь коэффициент $k=0.25 = \frac{1}{4}$, а $c=1$.

Первообразная для данной функции:

$F(x) = \int e^{0.25x+1} dx = \frac{1}{0.25}e^{0.25x+1} = 4e^{0.25x+1}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования от $-4$ до $4$.

$\int_{-4}^{4} e^{0.25x+1} dx = \left[ 4e^{0.25x+1} \right]_{-4}^{4} = 4e^{0.25 \cdot 4 + 1} - 4e^{0.25 \cdot (-4) + 1} = 4e^{1+1} - 4e^{-1+1} = 4e^2 - 4e^0 = 4e^2 - 4 \cdot 1 = 4(e^2 - 1)$.

Ответ: $4(e^2 - 1)$.

г) Вычислим определенный интеграл $\int_{-0.5}^{0} e^{-2x+2} dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = e^{-2x+2}$. Здесь коэффициент $k=-2$, а $c=2$.

Первообразная для данной функции:

$F(x) = \int e^{-2x+2} dx = \frac{1}{-2}e^{-2x+2} = -\frac{1}{2}e^{-2x+2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования от $-0.5$ до $0$.

$\int_{-0.5}^{0} e^{-2x+2} dx = \left[ -\frac{1}{2}e^{-2x+2} \right]_{-0.5}^{0} = (-\frac{1}{2}e^{-2 \cdot 0 + 2}) - (-\frac{1}{2}e^{-2 \cdot (-0.5) + 2}) = -\frac{1}{2}e^{2} - (-\frac{1}{2}e^{1+2}) = -\frac{1}{2}e^{2} + \frac{1}{2}e^{3} = \frac{1}{2}(e^3 - e^2)$.

Ответ: $\frac{1}{2}(e^3 - e^2)$.

21.17. a) $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x};$

Б) $\int_{1}^{2} \left( e^x + \frac{1}{x} \right) dx;$

В) $\int_{0}^{1} \frac{0,1}{x + 1} dx;$

Г) $\int_{1}^{2} \left( e^{2x} + \frac{2}{x} \right) dx.$

а) $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x}$

Для вычисления данного определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для функции $f(x)$.

В данном случае подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{x}$. Первообразной для этой функции является натуральный логарифм: $F(x) = \ln|x|$.

Теперь подставим пределы интегрирования:

$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} = \left. \ln|x| \right|_{1}^{2} = \ln|2| - \ln|1|$

На отрезке интегрирования $[1, 2]$ переменная $x$ принимает положительные значения, поэтому знак модуля можно опустить. Мы знаем, что значение $\ln(1) = 0$.

$\ln(2) - \ln(1) = \ln(2) - 0 = \ln(2)$

Ответ: $\ln(2)$

б) $\int_{1}^{2} \left(e^x + \frac{1}{x}\right) dx$

Используем свойство линейности интеграла, которое позволяет нам разбить интеграл от суммы на сумму интегралов:

$\int_{1}^{2} \left(e^x + \frac{1}{x}\right) dx = \int_{1}^{2} e^x dx + \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$

Найдем первообразные для каждой из функций. Первообразная для $e^x$ есть сама функция $e^x$. Первообразная для $\frac{1}{x}$ есть $\ln|x|$.

Следовательно, первообразная для всей подынтегральной функции $e^x + \frac{1}{x}$ равна $F(x) = e^x + \ln|x|$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left. (e^x + \ln|x|) \right|_{1}^{2} = (e^2 + \ln|2|) - (e^1 + \ln|1|)$

Поскольку на отрезке $[1, 2]$ $x > 0$, то $|x| = x$. Также $\ln(1) = 0$.

$(e^2 + \ln(2)) - (e + 0) = e^2 - e + \ln(2)$

Ответ: $e^2 - e + \ln(2)$

в) $\int_{0}^{1} \frac{0.1}{x+1} dx$

Для начала вынесем постоянный множитель $0.1$ за знак интеграла:

$0.1 \int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} dx$

Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{x+1}$ находится с помощью простой замены переменной $u=x+1$, где $du=dx$. Интеграл $\int \frac{du}{u} = \ln|u|$, следовательно, первообразная для нашей функции есть $F(x) = \ln|x+1|$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница к выражению:

$0.1 \left. \ln|x+1| \right|_{0}^{1} = 0.1 (\ln|1+1| - \ln|0+1|) = 0.1 (\ln|2| - \ln|1|)$

На отрезке интегрирования $[0, 1]$ выражение $x+1$ всегда положительно, поэтому знак модуля можно убрать. Зная, что $\ln(1)=0$, получаем:

$0.1 (\ln(2) - 0) = 0.1 \ln(2)$

Ответ: $0.1 \ln(2)$

г) $\int_{1}^{2} \left(e^{2x} + \frac{2}{x}\right) dx$

Воспользуемся свойством линейности и разобьем интеграл на сумму двух интегралов:

$\int_{1}^{2} \left(e^{2x} + \frac{2}{x}\right) dx = \int_{1}^{2} e^{2x} dx + \int_{1}^{2} \frac{2}{x} dx$

Найдем первообразные для каждого слагаемого.

1. Для первого слагаемого $\int e^{2x} dx$. Первообразная равна $\frac{1}{2}e^{2x}$.

2. Для второго слагаемого $\int \frac{2}{x} dx = 2 \int \frac{1}{x} dx$. Первообразная равна $2\ln|x|$.

Таким образом, первообразная для всей подынтегральной функции есть $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + 2\ln|x|$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left. \left(\frac{1}{2}e^{2x} + 2\ln|x|\right) \right|_{1}^{2} = \left(\frac{1}{2}e^{2 \cdot 2} + 2\ln|2|\right) - \left(\frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} + 2\ln|1|\right)$

На отрезке $[1, 2]$ $x>0$, поэтому $|x|=x$. Также мы знаем, что $\ln(1)=0$.

$\left(\frac{1}{2}e^4 + 2\ln(2)\right) - \left(\frac{1}{2}e^2 + 2 \cdot 0\right) = \frac{1}{2}e^4 + 2\ln(2) - \frac{1}{2}e^2$

Для более удобной записи перегруппируем слагаемые:

$\frac{1}{2}e^4 - \frac{1}{2}e^2 + 2\ln(2)$

Ответ: $\frac{1}{2}e^4 - \frac{1}{2}e^2 + 2\ln(2)$

21.18. a) $ \int_{3}^{6} \frac{dx}{2x - 1}; $

б) $ \int_{-1}^{0} \frac{dx}{-5x + 6}; $

в) $ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4x + 1} dx; $

г) $ \int_{5}^{8} \frac{dx}{9 - x}. $

а) Для вычисления определенного интеграла $ \int_{3}^{6} \frac{dx}{2x - 1} $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для функции $ f(x) $.
Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = \frac{1}{2x - 1} $. Это табличный интеграл вида $ \int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C $.
В нашем случае $ a=2 $, $ b=-1 $, следовательно, первообразная $ F(x) = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| $.
Подставим пределы интегрирования:
$ \int_{3}^{6} \frac{dx}{2x - 1} = \left. \frac{1}{2}\ln|2x - 1| \right|_{3}^{6} = \frac{1}{2}\ln|2 \cdot 6 - 1| - \frac{1}{2}\ln|2 \cdot 3 - 1| = \frac{1}{2}\ln|11| - \frac{1}{2}\ln|5| $.
Используя свойство логарифмов $ \ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b} $, получим:
$ \frac{1}{2}(\ln 11 - \ln 5) = \frac{1}{2}\ln\frac{11}{5} $.
Ответ: $ \frac{1}{2}\ln\frac{11}{5} $.

б) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^{0} \frac{dx}{-5x + 6} $.
Подынтегральная функция имеет вид $ f(x) = \frac{1}{-5x+6} $. Найдем ее первообразную по формуле $ \int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C $.
Здесь $ a=-5 $, $ b=6 $. Первообразная равна $ F(x) = \frac{1}{-5}\ln|-5x + 6| = -\frac{1}{5}\ln|-5x + 6| $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{-1}^{0} \frac{dx}{-5x + 6} = \left. -\frac{1}{5}\ln|-5x + 6| \right|_{-1}^{0} = \left(-\frac{1}{5}\ln|-5 \cdot 0 + 6|\right) - \left(-\frac{1}{5}\ln|-5 \cdot (-1) + 6|\right) $.
$ = -\frac{1}{5}\ln|6| - \left(-\frac{1}{5}\ln|5 + 6|\right) = -\frac{1}{5}\ln 6 + \frac{1}{5}\ln 11 = \frac{1}{5}(\ln 11 - \ln 6) = \frac{1}{5}\ln\frac{11}{6} $.
Ответ: $ \frac{1}{5}\ln\frac{11}{6} $.

в) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4x + 1}dx $.
Найдем первообразную для функции $ f(x) = \frac{1}{4x + 1} $, используя ту же формулу.
В данном случае $ a=4 $, $ b=1 $. Первообразная $ F(x) = \frac{1}{4}\ln|4x + 1| $.
Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{4x + 1} = \left. \frac{1}{4}\ln|4x + 1| \right|_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}\ln\left|4 \cdot \frac{1}{2} + 1\right| - \frac{1}{4}\ln|4 \cdot 0 + 1| $.
$ = \frac{1}{4}\ln|2 + 1| - \frac{1}{4}\ln|1| = \frac{1}{4}\ln 3 - \frac{1}{4} \cdot 0 = \frac{1}{4}\ln 3 $.
Ответ: $ \frac{1}{4}\ln 3 $.

г) Вычислим интеграл $ \int_{5}^{8} \frac{dx}{9 - x} $.
Подынтегральная функция $ f(x) = \frac{1}{9-x} = \frac{1}{-x+9} $.
Находим первообразную. Здесь $ a=-1 $, $ b=9 $. $ F(x) = \frac{1}{-1}\ln|9-x| = -\ln|9-x| $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{5}^{8} \frac{dx}{9 - x} = \left. -\ln|9 - x| \right|_{5}^{8} = (-\ln|9 - 8|) - (-\ln|9 - 5|) $.
$ = -\ln|1| - (-\ln|4|) = -0 + \ln 4 = \ln 4 $.
Ответ: $ \ln 4 $.

21.19. Вычислите:

a) $\int_{-3}^{6} f(x)dx$, где $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -3 \le x \le 2, \\ 6 - x, & \text{если } x > 2; \end{cases}$

б) $\int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x)dx$, где $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}}, & \text{если } 0 < x \le 1, \\ x^3, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

а)

Требуется вычислить определенный интеграл $\int_{-3}^{6} f(x)dx$, где функция $f(x)$ задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -3 \le x \le 2, \\ 6 - x, & \text{если } x > 2. \end{cases}$

Интервал интегрирования от $-3$ до $6$. Точка $x=2$, в которой меняется аналитическое выражение функции, принадлежит этому интервалу. Согласно свойству аддитивности определенного интеграла, мы можем разбить данный интеграл на сумму двух интегралов по отрезкам $[-3, 2]$ и $[2, 6]$.

$\int_{-3}^{6} f(x)dx = \int_{-3}^{2} f(x)dx + \int_{2}^{6} f(x)dx$

На отрезке $[-3, 2]$ функция $f(x)$ равна $x^2$. На отрезке $[2, 6]$ функция $f(x)$ равна $6 - x$. Подставим эти выражения в интегралы:

$\int_{-3}^{6} f(x)dx = \int_{-3}^{2} x^2 dx + \int_{2}^{6} (6 - x) dx$

Теперь вычислим каждый из полученных интегралов, используя формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} g(x)dx = G(b) - G(a)$, где $G(x)$ является первообразной для функции $g(x)$.

1. Вычислим первый интеграл. Первообразной для функции $g(x)=x^2$ является $G(x)=\frac{x^3}{3}$.

$\int_{-3}^{2} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-3}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} = \frac{8}{3} - \left(-\frac{27}{3}\right) = \frac{8}{3} + \frac{27}{3} = \frac{35}{3}$.

2. Вычислим второй интеграл. Первообразной для функции $g(x)=6-x$ является $G(x)=6x - \frac{x^2}{2}$.

$\int_{2}^{6} (6 - x) dx = \left. \left(6x - \frac{x^2}{2}\right) \right|_{2}^{6} = \left(6 \cdot 6 - \frac{6^2}{2}\right) - \left(6 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}\right) = (36 - \frac{36}{2}) - (12 - \frac{4}{2}) = (36 - 18) - (12 - 2) = 18 - 10 = 8$.

3. Сложим результаты вычислений:

$\int_{-3}^{6} f(x)dx = \frac{35}{3} + 8 = \frac{35}{3} + \frac{24}{3} = \frac{59}{3}$.

Ответ: $\frac{59}{3}$.

б)

Требуется вычислить определенный интеграл $\int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x)dx$, где функция $f(x)$ задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}}, & \text{если } 0 < x \le 1, \\ x^3, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Интервал интегрирования от $\frac{1}{4}$ до $2$. Точка $x=1$, в которой функция меняет свое аналитическое выражение, находится внутри этого интервала. Поэтому мы можем разбить интеграл на сумму двух интегралов в этой точке:

$\int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x)dx = \int_{\frac{1}{4}}^{1} f(x)dx + \int_{1}^{2} f(x)dx$

На промежутке $(\frac{1}{4}, 1]$ имеем $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, а на промежутке $[1, 2]$ имеем $f(x) = x^3$. Подставляем эти выражения:

$\int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x)dx = \int_{\frac{1}{4}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx + \int_{1}^{2} x^3 dx$

Вычислим каждый интеграл отдельно по формуле Ньютона-Лейбница.

1. Вычислим первый интеграл. Запишем подынтегральную функцию в виде $x^{-\frac{1}{2}}$. Первообразной для $x^{-\frac{1}{2}}$ является $\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}$.

$\int_{\frac{1}{4}}^{1} x^{-\frac{1}{2}} dx = \left. 2\sqrt{x} \right|_{\frac{1}{4}}^{1} = 2\sqrt{1} - 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \cdot 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 - 1 = 1$.

2. Вычислим второй интеграл. Первообразной для функции $x^3$ является $\frac{x^4}{4}$.

$\int_{1}^{2} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$.

3. Сложим полученные результаты:

$\int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x)dx = 1 + \frac{15}{4} = \frac{4}{4} + \frac{15}{4} = \frac{19}{4}$.

Ответ: $\frac{19}{4}$.