Номер 19.14, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.14, страница 119.

19.14. Является ли заданная прямая касательной к графику заданной функции в указанной точке:

а) $y = 3e^2x - 3e^2$; $y = e^{3x-1} - e^2$; $x = 1$;

б) $y = x + e$; $y = xe^x$; $x = 0$?

Чтобы определить, является ли заданная прямая касательной к графику функции в указанной точке, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Значение функции и значение прямой в указанной точке $x_0$ должны быть равны. Это означает, что прямая и график функции проходят через одну и ту же точку.
2. Угловой коэффициент прямой должен быть равен значению производной функции в точке $x_0$.

а) Проверим, является ли прямая $y = 3e^2x - 3e^2$ касательной к графику функции $y = e^{3x-1} - e^2$ в точке $x = 1$.

1. Проверка общей точки.
Найдем значение функции при $x_0 = 1$:
$f(1) = e^{3 \cdot 1 - 1} - e^2 = e^2 - e^2 = 0$.
Найдем значение для прямой при $x_0 = 1$:
$y(1) = 3e^2 \cdot 1 - 3e^2 = 3e^2 - 3e^2 = 0$.
Поскольку $f(1) = y(1) = 0$, первое условие выполняется. Точка касания — $(1, 0)$.

2. Проверка равенства угловых коэффициентов.
Угловой коэффициент заданной прямой $y = 3e^2x - 3e^2$ равен коэффициенту при $x$, то есть $k = 3e^2$.
Теперь найдем производную функции $f(x) = e^{3x-1} - e^2$:
$f'(x) = (e^{3x-1} - e^2)' = (e^{3x-1})' - (e^2)' = e^{3x-1} \cdot (3x-1)' - 0 = 3e^{3x-1}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 3e^{3 \cdot 1 - 1} = 3e^2$.
Угловой коэффициент прямой ($k=3e^2$) равен значению производной в точке $x_0=1$ ($f'(1)=3e^2$). Второе условие также выполняется.

Так как оба условия выполнены, данная прямая является касательной к графику функции в указанной точке.

Ответ: Да.

б) Проверим, является ли прямая $y = x + e$ касательной к графику функции $y = xe^x$ в точке $x = 0$.

1. Проверка общей точки.
Найдем значение функции при $x_0 = 0$:
$f(0) = 0 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 = 0$.
Найдем значение для прямой при $x_0 = 0$:
$y(0) = 0 + e = e$.
Получаем, что $f(0) = 0$, а $y(0) = e$. Поскольку $0 \neq e$, значения не совпадают. Первое условие не выполняется.

Так как прямая и график функции не проходят через общую точку при $x=0$, данная прямая не может быть касательной к графику в этой точке. Дальнейшая проверка не имеет смысла.

Ответ: Нет.