Номер 19.19, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.19, страница 120.

19.19. а) $y = e^{2x} - 3e^x + x + 4;$

б) $y = 1 - 3x + 5e^x - e^{2x}.$

а)

Дана функция $y = e^{2x} - 3e^x + x + 4$.

Чтобы найти производную функции $y$, необходимо продифференцировать каждое слагаемое по отдельности. Мы будем использовать правило дифференцирования суммы и разности функций: $(u \pm v)' = u' \pm v'$, а также основные правила дифференцирования.

$y' = (e^{2x} - 3e^x + x + 4)' = (e^{2x})' - (3e^x)' + (x)' + (4)'$.

Рассмотрим производную каждого члена:

1. Для нахождения производной от $e^{2x}$ используется правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. В данном случае, внешняя функция $f(u) = e^u$, а внутренняя $g(x) = 2x$. Производная внутренней функции $(2x)' = 2$.

$(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.

2. Для нахождения производной от $3e^x$ используется правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$ и производная экспоненциальной функции $(e^x)' = e^x$.

$(3e^x)' = 3 \cdot (e^x)' = 3e^x$.

3. Производная от $x$ равна 1:

$(x)' = 1$.

4. Производная от константы 4 равна 0:

$(4)' = 0$.

Теперь сложим все полученные производные:

$y' = 2e^{2x} - 3e^x + 1 + 0 = 2e^{2x} - 3e^x + 1$.

Ответ: $y' = 2e^{2x} - 3e^x + 1$.

б)

Дана функция $y = 1 - 3x + 5e^x - e^{2x}$.

Найдем ее производную, применяя те же правила дифференцирования, что и в предыдущем пункте.

$y' = (1 - 3x + 5e^x - e^{2x})' = (1)' - (3x)' + (5e^x)' - (e^{2x})'$.

Вычислим производную каждого слагаемого:

1. Производная константы 1 равна 0:

$(1)' = 0$.

2. Производная от $3x$:

$(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$.

3. Производная от $5e^x$:

$(5e^x)' = 5 \cdot (e^x)' = 5e^x$.

4. Производная от $e^{2x}$, как мы уже выяснили в пункте а), равна $2e^{2x}$:

$(e^{2x})' = 2e^{2x}$.

Объединим результаты с учетом знаков в исходной функции:

$y' = 0 - 3 + 5e^x - 2e^{2x} = 5e^x - 2e^{2x} - 3$.

Ответ: $y' = 5e^x - 2e^{2x} - 3$.