Номер 19.17, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.17, страница 120.

19.17. Запишите уравнение прямой, которая проходит через начало координат и является касательной к графику функции:

а) $y = e^{\frac{x}{2}}$;

б) $y = e^{\frac{x}{3}}$.

а) Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y = kx$, где $k$ - это угловой коэффициент. Эта прямая является касательной к графику функции $f(x) = e^{\frac{x}{2}}$ в некоторой точке $x_0$.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (e^{\frac{x}{2}})' = e^{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{x}{2})' = \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}$.

Так как касательная проходит через начало координат (точку $(0, 0)$), мы можем подставить эти значения в общее уравнение касательной, чтобы найти $x_0$:

$0 = f(x_0) + f'(x_0)(0 - x_0)$

$0 = f(x_0) - x_0 f'(x_0)$

Теперь подставим выражения для $f(x_0)$ и $f'(x_0)$:

$e^{\frac{x_0}{2}} - x_0 \cdot \frac{1}{2}e^{\frac{x_0}{2}} = 0$

Вынесем $e^{\frac{x_0}{2}}$ за скобки. Поскольку $e^{\frac{x_0}{2}} > 0$ для любого $x_0$, мы можем разделить обе части уравнения на этот множитель:

$e^{\frac{x_0}{2}}(1 - \frac{x_0}{2}) = 0$

$1 - \frac{x_0}{2} = 0$

$\frac{x_0}{2} = 1 \implies x_0 = 2$.

Мы нашли абсциссу точки касания. Угловой коэффициент $k$ искомой прямой равен значению производной в этой точке:

$k = f'(x_0) = f'(2) = \frac{1}{2}e^{\frac{2}{2}} = \frac{1}{2}e^1 = \frac{e}{2}$.

Подставляем найденный коэффициент $k$ в уравнение прямой $y = kx$.

Ответ: $y = \frac{e}{2}x$.

б) Решение аналогично пункту а). Искомая прямая имеет вид $y = kx$ и является касательной к графику функции $f(x) = e^{\frac{x}{3}}$ в точке $x_0$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (e^{\frac{x}{3}})' = e^{\frac{x}{3}} \cdot (\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}}$.

Используем условие прохождения касательной через начало координат, чтобы найти $x_0$:

$f(x_0) - x_0 f'(x_0) = 0$

Подставим выражения для $f(x_0)$ и $f'(x_0)$:

$e^{\frac{x_0}{3}} - x_0 \cdot \frac{1}{3}e^{\frac{x_0}{3}} = 0$

Вынесем $e^{\frac{x_0}{3}}$ за скобки и разделим на этот множитель, так как он всегда больше нуля:

$e^{\frac{x_0}{3}}(1 - \frac{x_0}{3}) = 0$

$1 - \frac{x_0}{3} = 0$

$\frac{x_0}{3} = 1 \implies x_0 = 3$.

Абсцисса точки касания найдена. Теперь найдем угловой коэффициент $k$ как значение производной в этой точке:

$k = f'(x_0) = f'(3) = \frac{1}{3}e^{\frac{3}{3}} = \frac{1}{3}e^1 = \frac{e}{3}$.

Подставляем найденный коэффициент $k$ в уравнение прямой $y = kx$.

Ответ: $y = \frac{e}{3}x$.