Номер 19.21, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.21, страница 120.

19.21. При каких значениях параметра $a$ функция $y = x^6e^{-x}$ на интервале $(a; a+7)$:

а) имеет ровно одну точку экстремума;

б) имеет ровно две точки экстремума;

в) убывает;

г) возрастает?

Для анализа поведения функции $y = x^6e^{-x}$ на интервале $(a; a+7)$, сначала найдем ее производную, чтобы определить точки экстремума и промежутки монотонности.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x^6)'e^{-x} + x^6(e^{-x})' = 6x^5e^{-x} + x^6(-e^{-x}) = e^{-x}(6x^5 - x^6)$

Вынесем за скобки общий множитель $x^5e^{-x}$:

$y' = x^5e^{-x}(6-x)$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$x^5e^{-x}(6-x) = 0$

Поскольку $e^{-x} > 0$ для всех действительных $x$, корни уравнения определяются множителями $x^5$ и $(6-x)$.

$x^5 = 0 \implies x_1 = 0$

$6-x = 0 \implies x_2 = 6$

Таким образом, функция имеет две точки экстремума: $x=0$ и $x=6$.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые эти точки делят числовую ось:

• При $x \in (-\infty; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; 6)$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (6; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

Следовательно, $x=0$ — точка локального минимума, а $x=6$ — точка локального максимума.

Теперь рассмотрим заданный интервал $(a; a+7)$ длиной 7.

а) имеет ровно одну точку экстремума

Это условие выполняется, если интервал $(a; a+7)$ содержит только одну из двух точек экстремума ($x=0$ или $x=6$).

Случай 1: Интервал содержит $x=0$, но не содержит $x=6$.

Это означает, что $a < 0 < a+7$ и ($a+7 \le 6$ или $a \ge 6$).

Из $a < 0 < a+7$ следует $-7 < a < 0$.

Из $a+7 \le 6$ следует $a \le -1$. Условие $a \ge 6$ несовместимо с $a < 0$.

Пересечение условий $-7 < a < 0$ и $a \le -1$ дает $-7 < a \le -1$.

Случай 2: Интервал содержит $x=6$, но не содержит $x=0$.

Это означает, что $a < 6 < a+7$ и ($a+7 \le 0$ или $a \ge 0$).

Из $a < 6 < a+7$ следует $-1 < a < 6$.

Из $a \ge 0$. Условие $a+7 \le 0$ (т.е. $a \le -7$) несовместимо с $a > -1$.

Пересечение условий $-1 < a < 6$ и $a \ge 0$ дает $0 \le a < 6$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем искомые значения параметра $a$.

Ответ: $a \in (-7; -1] \cup [0; 6)$.

б) имеет ровно две точки экстремума

Это условие выполняется, если интервал $(a; a+7)$ содержит обе точки экстремума, $x=0$ и $x=6$.

Для этого должны одновременно выполняться неравенства:

$a < 0$ и $a+7 > 6$.

Из второго неравенства получаем $a > 6-7$, то есть $a > -1$.

Система неравенств $\begin{cases} a < 0 \\ a > -1 \end{cases}$ имеет решение $-1 < a < 0$.

Ответ: $a \in (-1; 0)$.

в) убывает

Функция убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[6; +\infty)$. Чтобы функция убывала на всем интервале $(a; a+7)$, этот интервал должен целиком входить в один из этих промежутков.

Случай 1: $(a; a+7) \subseteq (-\infty; 0)$.

Это означает, что верхняя граница интервала должна быть меньше или равна 0: $a+7 \le 0$, откуда $a \le -7$.

Случай 2: $(a; a+7) \subseteq (6; +\infty)$.

Это означает, что нижняя граница интервала должна быть больше или равна 6: $a \ge 6$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем искомые значения $a$.

Ответ: $a \in (-\infty; -7] \cup [6; +\infty)$.

г) возрастает

Функция возрастает на промежутке $(0; 6)$. Чтобы функция возрастала на всем интервале $(a; a+7)$, этот интервал должен целиком входить в промежуток $(0; 6)$.

Это требует одновременного выполнения условий:

$a \ge 0$ и $a+7 \le 6$.

Из второго неравенства получаем $a \le 6-7$, то есть $a \le -1$.

Система неравенств $\begin{cases} a \ge 0 \\ a \le -1 \end{cases}$ не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно больше или равно 0 и меньше или равно -1.

Следовательно, не существует таких значений параметра $a$, при которых функция возрастает на всем интервале $(a; a+7)$.

Ответ: таких значений $a$ не существует (или $a \in \emptyset$).