Номер 19.20, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.20, страница 120.

19.20. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = x^2e^x$ на заданном отрезке:

a) [-1; 1];

б) [-3; 1];

в) [-3; -1];

г) [1; 3].

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^2e^x$ на заданных отрезках, воспользуемся стандартным алгоритмом. Сначала найдем производную функции и ее критические точки.

Производная функции $y = x^2e^x$ находится по правилу дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x^2)'e^x + x^2(e^x)' = 2xe^x + x^2e^x = xe^x(2+x)$.

Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю. Приравняем производную к нулю, чтобы найти их:

$xe^x(2+x) = 0$.

Так как $e^x$ всегда больше нуля, это уравнение эквивалентно $x(x+2)=0$. Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Теперь проанализируем функцию на каждом из заданных отрезков.

а) На отрезке $[-1; 1]$.

Из двух критических точек в данный отрезок попадает только $x=0$. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке могут достигаться либо в этой критической точке, либо на концах отрезка ($x=-1$ и $x=1$). Вычислим значения функции в этих точках: $y(-1) = (-1)^2 e^{-1} = \frac{1}{e}$; $y(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0$; $y(1) = 1^2 \cdot e^1 = e$.

Сравнивая полученные значения ($0$, $\frac{1}{e} \approx 0.368$, $e \approx 2.718$), заключаем, что наименьшее значение функции равно $0$, а наибольшее — $e$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $e$.

б) На отрезке $[-3; 1]$.

Обе критические точки, $x=0$ и $x=-2$, принадлежат этому отрезку. Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка ($x=-3$ и $x=1$): $y(-3) = (-3)^2 e^{-3} = \frac{9}{e^3}$; $y(-2) = (-2)^2 e^{-2} = \frac{4}{e^2}$; $y(0) = 0$; $y(1) = e$.

Сравнивая эти значения ($\frac{9}{e^3} \approx 0.448$, $\frac{4}{e^2} \approx 0.541$, $0$, $e \approx 2.718$), находим, что наименьшее значение функции равно $0$, а наибольшее — $e$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $e$.

в) На отрезке $[-3; -1]$.

В этот отрезок попадает только критическая точка $x=-2$. Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка ($x=-3$ и $x=-1$): $y(-3) = (-3)^2 e^{-3} = \frac{9}{e^3}$; $y(-2) = (-2)^2 e^{-2} = \frac{4}{e^2}$; $y(-1) = (-1)^2 e^{-1} = \frac{1}{e}$.

Сравним полученные значения: $\frac{1}{e} \approx 0.368$, $\frac{9}{e^3} \approx 0.448$, $\frac{4}{e^2} \approx 0.541$. Наименьшее значение равно $\frac{1}{e}$, а наибольшее — $\frac{4}{e^2}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{e}$, наибольшее значение $\frac{4}{e^2}$.

г) На отрезке $[1; 3]$.

Ни одна из критических точек ($0$ и $-2$) не лежит в данном отрезке. Это означает, что на интервале $(1; 3)$ производная $y' = xe^x(2+x)$ сохраняет свой знак. Для любого $x$ из отрезка $[1; 3]$ все множители в выражении для производной ($x$, $e^x$, $2+x$) положительны, следовательно, $y'>0$ на всем отрезке. Функция является возрастающей.

Таким образом, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом. Вычислим их: $y_{наим} = y(1) = 1^2 \cdot e^1 = e$; $y_{наиб} = y(3) = 3^2 \cdot e^3 = 9e^3$.

Ответ: наименьшее значение $e$, наибольшее значение $9e^3$.