Номер 19.24, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.24, страница 120.

19.24. а) $y = e^x \ln x;$

б) $y = 3 \ln x + \sin 2x;$

в) $y = \sqrt[7]{x^5} \ln x;$

г) $y = 2 \cos \frac{x}{2} - 5 \ln x.$

а)

Дана функция $y = e^x \ln x$.

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = \ln x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (e^x)' = e^x$

$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

Теперь подставим найденные производные в формулу правила произведения:

$y' = (e^x)' \ln x + e^x (\ln x)' = e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x}$

Можно вынести общий множитель $e^x$ за скобки для упрощения выражения:

$y' = e^x (\ln x + \frac{1}{x})$

Ответ: $y' = e^x (\ln x + \frac{1}{x})$

б)

Дана функция $y = 3 \ln x + \sin 2x$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$.

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Производная первого слагаемого: $(3 \ln x)' = 3 \cdot (\ln x)' = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$.

Для второго слагаемого $(\sin 2x)'$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Производная внешней функции $(\sin u)' = \cos u$ и производная внутренней функции $(2x)' = 2$.

$(\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2 \cos 2x$.

Складываем полученные производные:

$y' = \frac{3}{x} + 2 \cos 2x$.

Ответ: $y' = \frac{3}{x} + 2 \cos 2x$

в)

Дана функция $y = \sqrt[7]{x^5} \ln x$.

Сначала преобразуем радикал в степень: $\sqrt[7]{x^5} = x^{5/7}$.

Функция принимает вид: $y = x^{5/7} \ln x$.

Используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^{5/7}$ и $v(x) = \ln x$.

Найдем производные:

$u'(x) = (x^{5/7})' = \frac{5}{7} x^{\frac{5}{7}-1} = \frac{5}{7} x^{-2/7}$.

$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Подставляем в формулу:

$y' = (\frac{5}{7} x^{-2/7}) \cdot \ln x + x^{5/7} \cdot \frac{1}{x}$

Упростим второе слагаемое: $x^{5/7} \cdot \frac{1}{x} = x^{5/7} \cdot x^{-1} = x^{\frac{5}{7}-1} = x^{-2/7}$.

Тогда $y' = \frac{5}{7} x^{-2/7} \ln x + x^{-2/7}$.

Вынесем общий множитель $x^{-2/7}$ за скобки:

$y' = x^{-2/7} (\frac{5}{7} \ln x + 1)$.

Это выражение можно также записать в виде дроби с корнем в знаменателе:

$y' = \frac{1}{\sqrt[7]{x^2}} (\frac{5 \ln x + 7}{7}) = \frac{5 \ln x + 7}{7\sqrt[7]{x^2}}$.

Ответ: $y' = x^{-2/7} (\frac{5}{7} \ln x + 1)$

г)

Дана функция $y = 2 \cos \frac{x}{2} - 5 \ln x$.

Используем правило дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$.

Найдем производную уменьшаемого $(2 \cos \frac{x}{2})'$.

Это производная сложной функции, умноженная на константу. Выносим константу $2$ и применяем цепное правило.

$(2 \cos \frac{x}{2})' = 2 \cdot (\cos \frac{x}{2})'$.

Производная внешней функции $(\cos u)' = -\sin u$. Производная внутренней функции $(\frac{x}{2})' = \frac{1}{2}$.

$(\cos \frac{x}{2})' = -\sin(\frac{x}{2}) \cdot (\frac{x}{2})' = -\sin(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2}$.

Тогда $(2 \cos \frac{x}{2})' = 2 \cdot (-\frac{1}{2} \sin(\frac{x}{2})) = -\sin(\frac{x}{2})$.

Найдем производную вычитаемого: $(5 \ln x)' = 5 \cdot (\ln x)' = 5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5}{x}$.

Теперь вычитаем производные:

$y' = -\sin(\frac{x}{2}) - \frac{5}{x}$.

Ответ: $y' = -\sin(\frac{x}{2}) - \frac{5}{x}$