Номер 19.27, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.27, страница 121.

Найдите производную функции:

19.27. а) $y = 2^x - \log_3(x - 1)$

б) $y = 3^{-x} + 2 \log_{\frac{1}{2}} x$

в) $y = 5^x - 7 \log_{\frac{1}{3}}(x + 1)$

г) $y = \left(\frac{1}{7}\right)^x + \log_5(x + 4)$

а) Найдём производную функции $y = 2^x - \log_3(x - 1)$.

Производная разности функций равна разности их производных. Для нахождения производной будем использовать следующие правила:

• Производная показательной функции: $(a^x)' = a^x \ln a$.
• Производная логарифмической функции (с учётом производной сложной функции): $(\log_a u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x) \ln a}$.

Применим эти правила к нашей функции:

$y' = (2^x - \log_3(x - 1))' = (2^x)' - (\log_3(x - 1))'$

Найдём производную каждого слагаемого:

1. $(2^x)' = 2^x \ln 2$.

2. Для $\log_3(x - 1)$, имеем $u(x) = x - 1$, следовательно $u'(x) = 1$. Тогда:

$(\log_3(x - 1))' = \frac{1}{(x-1) \ln 3}$.

Объединяем результаты:

$y' = 2^x \ln 2 - \frac{1}{(x-1) \ln 3}$.

Ответ: $y' = 2^x \ln 2 - \frac{1}{(x-1) \ln 3}$.

б) Найдём производную функции $y = 3^{-x} + 2\log_{\frac{1}{2}} x$.

Производная суммы функций равна сумме их производных. Используем правила:

• Производная сложной показательной функции: $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.
• Производная логарифмической функции: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.
• Правило вынесения константы: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.

$y' = (3^{-x} + 2\log_{\frac{1}{2}} x)' = (3^{-x})' + (2\log_{\frac{1}{2}} x)'$.

1. Для $3^{-x}$, имеем $u(x) = -x$, значит $u'(x) = -1$.

$(3^{-x})' = 3^{-x} \ln 3 \cdot (-1) = -3^{-x} \ln 3$.

2. Для $2\log_{\frac{1}{2}} x$:

$(2\log_{\frac{1}{2}} x)' = 2 \cdot (\log_{\frac{1}{2}} x)' = 2 \cdot \frac{1}{x \ln(\frac{1}{2})}$.

Так как $\ln(\frac{1}{2}) = \ln(2^{-1}) = -\ln 2$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{x(-\ln 2)} = -\frac{2}{x \ln 2}$.

Объединяем результаты:

$y' = -3^{-x} \ln 3 - \frac{2}{x \ln 2}$.

Ответ: $y' = -3^{-x} \ln 3 - \frac{2}{x \ln 2}$.

в) Найдём производную функции $y = 5^x - 7\log_{\frac{1}{3}}(x + 1)$.

Используем те же правила дифференцирования, что и в предыдущих пунктах.

$y' = (5^x - 7\log_{\frac{1}{3}}(x + 1))' = (5^x)' - (7\log_{\frac{1}{3}}(x + 1))'$.

1. $(5^x)' = 5^x \ln 5$.

2. Для $7\log_{\frac{1}{3}}(x + 1)$, имеем $u(x) = x + 1$, $u'(x) = 1$.

$(7\log_{\frac{1}{3}}(x + 1))' = 7 \cdot \frac{1}{(x+1)\ln(\frac{1}{3})}$.

Так как $\ln(\frac{1}{3}) = \ln(3^{-1}) = -\ln 3$, получаем:

$7 \cdot \frac{1}{(x+1)(-\ln 3)} = -\frac{7}{(x+1)\ln 3}$.

Объединяем результаты, учитывая знак "минус" перед вторым слагаемым в исходной функции:

$y' = 5^x \ln 5 - \left(-\frac{7}{(x+1)\ln 3}\right) = 5^x \ln 5 + \frac{7}{(x+1)\ln 3}$.

Ответ: $y' = 5^x \ln 5 + \frac{7}{(x+1)\ln 3}$.

г) Найдём производную функции $y = \left(\frac{1}{7}\right)^x + \log_5(x + 4)$.

Применяем правила дифференцирования для суммы функций.

$y' = \left(\left(\frac{1}{7}\right)^x + \log_5(x + 4)\right)' = \left(\left(\frac{1}{7}\right)^x\right)' + (\log_5(x + 4))'$.

1. Для $\left(\frac{1}{7}\right)^x$:

$\left(\left(\frac{1}{7}\right)^x\right)' = \left(\frac{1}{7}\right)^x \ln\left(\frac{1}{7}\right)$.

Так как $\ln(\frac{1}{7}) = \ln(7^{-1}) = -\ln 7$, получаем:

$\left(\frac{1}{7}\right)^x (-\ln 7) = -\left(\frac{1}{7}\right)^x \ln 7$.

2. Для $\log_5(x + 4)$, имеем $u(x) = x+4$, $u'(x) = 1$.

$(\log_5(x + 4))' = \frac{1}{(x+4)\ln 5}$.

Объединяем результаты:

$y' = -\left(\frac{1}{7}\right)^x \ln 7 + \frac{1}{(x+4)\ln 5}$.

Ответ: $y' = -\left(\frac{1}{7}\right)^x \ln 7 + \frac{1}{(x+4)\ln 5}$.