Номер 19.10, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.10, страница 119.

19.10. Решите уравнение $f'(x) = a$, если:

а) $f(x) = 3e^{x+4}, a = \frac{3}{e};$

б) $f(x) = 2 + \frac{1}{3}e^{-6x-13}, a = -2;$;

в) $f(x) = 2e^{-7x+9}, a = -14;$;

г) $f(x) = 42 - e^{0,1x-4}, a = 0,1.$

Чтобы решить уравнение $f'(x) = a$, необходимо сначала найти производную функции $f(x)$, а затем приравнять ее к заданному значению $a$ и решить полученное уравнение относительно $x$.

Для нахождения производной будем использовать правило дифференцирования сложной функции: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

а) Дано: $f(x) = 3e^{x+4}$ и $a = \frac{3}{e}$.

1. Найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = (3e^{x+4})' = 3 \cdot e^{x+4} \cdot (x+4)' = 3 \cdot e^{x+4} \cdot 1 = 3e^{x+4}$.

2. Приравняем производную к значению $a$ и решим уравнение:

$3e^{x+4} = \frac{3}{e}$

Разделим обе части на 3:

$e^{x+4} = \frac{1}{e}$

Представим $\frac{1}{e}$ как $e^{-1}$:

$e^{x+4} = e^{-1}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x + 4 = -1$

$x = -1 - 4$

$x = -5$

Ответ: $x = -5$.

б) Дано: $f(x) = 2 + \frac{1}{3}e^{-6x-13}$ и $a = -2$.

1. Найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = (2 + \frac{1}{3}e^{-6x-13})' = (2)' + (\frac{1}{3}e^{-6x-13})' = 0 + \frac{1}{3} \cdot e^{-6x-13} \cdot (-6x-13)' = \frac{1}{3}e^{-6x-13} \cdot (-6) = -2e^{-6x-13}$.

2. Приравняем производную к значению $a$ и решим уравнение:

$-2e^{-6x-13} = -2$

Разделим обе части на -2:

$e^{-6x-13} = 1$

Представим 1 как $e^0$:

$e^{-6x-13} = e^0$

Приравниваем показатели степеней:

$-6x - 13 = 0$

$-6x = 13$

$x = -\frac{13}{6}$

Ответ: $x = -\frac{13}{6}$.

в) Дано: $f(x) = 2e^{-7x+9}$ и $a = -14$.

1. Найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = (2e^{-7x+9})' = 2 \cdot e^{-7x+9} \cdot (-7x+9)' = 2e^{-7x+9} \cdot (-7) = -14e^{-7x+9}$.

2. Приравняем производную к значению $a$ и решим уравнение:

$-14e^{-7x+9} = -14$

Разделим обе части на -14:

$e^{-7x+9} = 1$

Представим 1 как $e^0$:

$e^{-7x+9} = e^0$

Приравниваем показатели степеней:

$-7x + 9 = 0$

$-7x = -9$

$x = \frac{-9}{-7} = \frac{9}{7}$

Ответ: $x = \frac{9}{7}$.

г) Дано: $f(x) = 42 - e^{0,1x-4}$ и $a = 0,1$.

1. Найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = (42 - e^{0,1x-4})' = (42)' - (e^{0,1x-4})' = 0 - e^{0,1x-4} \cdot (0,1x-4)' = -e^{0,1x-4} \cdot 0,1 = -0,1e^{0,1x-4}$.

2. Приравняем производную к значению $a$ и решим уравнение:

$-0,1e^{0,1x-4} = 0,1$

Разделим обе части на -0,1:

$e^{0,1x-4} = -1$

Показательная функция $y = e^z$ принимает только положительные значения ($e^z > 0$) для любого действительного $z$. Следовательно, уравнение $e^{0,1x-4} = -1$ не имеет решений в действительных числах.

Ответ: уравнение не имеет корней.