Номер 19.8, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.8, страница 118.

О19.8. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

a) $h(x) = \left(\frac{1}{e}\right)^x$, $x_0 = 0$;

б) $h(x) = e^{-x+2}$, $x_0 = 2$;

в) $h(x) = \frac{1}{ex} + x^5$, $x_0 = -1$;

г) $h(x) = x + e^{2x-3}$, $x_0 = 1,5$.

Тангенс угла наклона касательной к графику функции $y=h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке. Это следует из геометрического смысла производной: $tg(\alpha) = h'(x_0)$. Для решения задачи необходимо найти производную каждой функции и вычислить ее значение в указанной точке $x_0$.

а) Дана функция $h(x) = \left(\frac{1}{e}\right)^x$ и точка $x_0 = 0$.
Сначала преобразуем функцию, используя свойство степеней: $h(x) = (e^{-1})^x = e^{-x}$.
Теперь найдем производную функции. По правилу дифференцирования показательной функции с основанием $e$, $(e^u)' = e^u \cdot u'$. В данном случае $u = -x$, поэтому $u' = -1$.
$h'(x) = (e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$h'(0) = -e^{-0} = -e^0 = -1$.
Ответ: -1

б) Дана функция $h(x) = e^{-x+2}$ и точка $x_0 = 2$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции. Здесь $u = -x+2$, и $u' = -1$.
$h'(x) = (e^{-x+2})' = e^{-x+2} \cdot (-x+2)' = -e^{-x+2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:
$h'(2) = -e^{-2+2} = -e^0 = -1$.
Ответ: -1

в) Дана функция $h(x) = \frac{1}{ex} + x^5$ и точка $x_0 = -1$.
Перепишем функцию в виде, удобном для дифференцирования: $h(x) = \frac{1}{e}x^{-1} + x^5$.
Найдем производную, используя правила дифференцирования суммы и степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$h'(x) = \left(\frac{1}{e}x^{-1}\right)' + (x^5)' = \frac{1}{e} \cdot (-1)x^{-1-1} + 5x^{5-1} = -\frac{1}{e}x^{-2} + 5x^4 = -\frac{1}{ex^2} + 5x^4$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:
$h'(-1) = -\frac{1}{e(-1)^2} + 5(-1)^4 = -\frac{1}{e \cdot 1} + 5 \cdot 1 = 5 - \frac{1}{e}$.
Ответ: $5 - \frac{1}{e}$

г) Дана функция $h(x) = x + e^{2x-3}$ и точка $x_0 = 1,5$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования суммы и правило для сложной функции:
$h'(x) = (x)' + (e^{2x-3})' = 1 + e^{2x-3} \cdot (2x-3)' = 1 + e^{2x-3} \cdot 2 = 1 + 2e^{2x-3}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1,5$:
$h'(1,5) = 1 + 2e^{2 \cdot 1,5 - 3} = 1 + 2e^{3-3} = 1 + 2e^0 = 1 + 2 \cdot 1 = 3$.
Ответ: 3