Номер 18.52, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.52, страница 117.

18.52. При каких значениях $a$ сумма целочисленных решений неравенства $\log_{a}^{2}(2-x) - 8 \le \log_{a}(x-2)^2$ равна нулю?

Область допустимых значений (ОДЗ)

Исходное неравенство: $\log_a^2(2-x) - 8 \le \log_a (x-2)^2$. Для существования логарифмов необходимо выполнение следующих условий:

1. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице: $a > 0, a \ne 1$.

2. Аргумент логарифма $\log_a(2-x)$ должен быть строго больше нуля: $2-x > 0$, что равносильно $x < 2$.

3. Аргумент логарифма $\log_a((x-2)^2)$ должен быть строго больше нуля: $(x-2)^2 > 0$, что выполняется для всех $x \ne 2$.

Объединяя условия на переменную $x$, получаем область допустимых значений для $x$: $x < 2$.

Упрощение и решение неравенства

Преобразуем правую часть неравенства, учитывая, что на ОДЗ выражение $2-x$ положительно: $\log_a (x-2)^2 = \log_a (-(2-x))^2 = \log_a (2-x)^2 = 2 \log_a(2-x)$.

Подставив это в исходное неравенство, получим: $\log_a^2(2-x) - 8 \le 2 \log_a(2-x)$.

Введем замену переменной $t = \log_a(2-x)$. Неравенство примет вид квадратного: $t^2 - 2t - 8 \le 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 2t - 8 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант получаем $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$. Поскольку ветви параболы $y=t^2 - 2t - 8$ направлены вверх, решение неравенства находится между корнями: $-2 \le t \le 4$.

Выполним обратную замену: $-2 \le \log_a(2-x) \le 4$.

Анализ целочисленных решений и нахождение параметра $a$

Решение логарифмического неравенства зависит от основания $a$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a > 1$

Если основание $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При потенцировании знаки неравенства сохраняются: $a^{-2} \le 2-x \le a^4$.

Выразим $x$: $-a^4 \le x-2 \le -a^{-2}$ $2 - a^4 \le x \le 2 - a^{-2}$.

Оценим правую границу интервала $2 - a^{-2}$. Поскольку $a>1$, то $a^2>1$, и $0 < 1/a^2 < 1$. Отсюда следует, что $1 < 2 - a^{-2} < 2$. Это означает, что наибольшим целым решением неравенства в этом случае всегда будет $x=1$.

По условию, сумма всех целочисленных решений должна быть равна нулю. Так как $x=1$ является решением, то для обнуления суммы в множестве решений должны быть и отрицательные числа. Если целочисленные решения образуют непрерывную последовательность (что и происходит в данном случае), то единственным набором решений, включающим 1 и имеющим сумму 0, является набор $\{-1, 0, 1\}$.

Чтобы множество целочисленных решений было именно таким, левая граница интервала $2-a^4$ должна находиться между -2 и -1 (включая -1): $-2 < 2-a^4 \le -1$.

Решим это двойное неравенство: $2-a^4 \le -1 \implies 3 \le a^4 \implies a \ge \sqrt[4]{3}$ (так как $a > 1$). $-2 < 2-a^4 \implies a^4 < 4 \implies a < \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$.

Таким образом, для первого случая получаем: $\sqrt[4]{3} \le a < \sqrt{2}$.

Случай 2: $0 < a < 1$

Если основание $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При потенцировании знаки неравенства меняются на противоположные: $a^{-2} \ge 2-x \ge a^4$, что равносильно $a^4 \le 2-x \le a^{-2}$.

Выразим $x$: $-a^{-2} \le x-2 \le -a^4$ $2 - a^{-2} \le x \le 2 - a^4$.

Оценим правую границу $2-a^4$. Так как $0<a<1$, то $0<a^4<1$, следовательно $1 < 2-a^4 < 2$. Наибольшим целым решением снова является $x=1$. По тем же соображениям, что и в первом случае, множество целочисленных решений должно быть $\{-1, 0, 1\}$.

Для этого левая граница $2 - a^{-2}$ должна удовлетворять условию: $-2 < 2-a^{-2} \le -1$.

Решим неравенство: $2 - a^{-2} \le -1 \implies 3 \le a^{-2} \implies 3 \le 1/a^2 \implies a^2 \le 1/3 \implies a \le 1/\sqrt{3}$ (так как $a>0$). $-2 < 2 - a^{-2} \implies a^{-2} < 4 \implies 1/a^2 < 4 \implies a^2 > 1/4 \implies a > 1/2$ (так как $a>0$).

Таким образом, для второго случая получаем: $1/2 < a \le 1/\sqrt{3}$.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, находим все значения параметра $a$, при которых сумма целочисленных решений неравенства равна нулю.

Ответ: $a \in (1/2, 1/\sqrt{3}] \cup [\sqrt[4]{3}, \sqrt{2})$.