Номер 21.41, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.41, страница 140.

21.41. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону $v = v(t)$ (время $t$ измеряется в минутах, а скорость — в метрах в минуту). За какое время, считая от начала движения, точка пройдёт расстояние $s$ метров, если:

a) $v(t) = 2t - 3, s = 4;$

б) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{t + 1}}, s = 2?$

а) Расстояние $s$, пройденное материальной точкой, вычисляется как интеграл от модуля (абсолютной величины) скорости по времени. Чтобы найти искомое время $T$, нужно решить уравнение: $s = \int_{0}^{T} |v(t)| \,dt$

В данном случае заданы $v(t) = 2t - 3$ и $s = 4$. Сначала определим, в какой момент времени скорость меняет свой знак. $v(t) = 0 \implies 2t - 3 = 0 \implies t = 1.5$ минуты.

Для интервала времени $0 \le t < 1.5$, скорость $v(t)$ отрицательна, поэтому её модуль равен $|v(t)| = -(2t-3) = 3 - 2t$.
Для $t \ge 1.5$, скорость $v(t)$ неотрицательна, и модуль скорости равен $|v(t)| = 2t-3$.

Вычислим расстояние, которое точка прошла за первые 1.5 минуты: $s_1 = \int_{0}^{1.5} |v(t)| \,dt = \int_{0}^{1.5} (3 - 2t) \,dt = \left[3t - t^2\right]_{0}^{1.5} = (3 \cdot 1.5 - 1.5^2) - 0 = 4.5 - 2.25 = 2.25$ метра.

Требуемое расстояние $s=4$ метра больше, чем 2.25 метра, следовательно, искомое время $T$ должно быть больше 1.5 минуты. Общее расстояние является суммой расстояний, пройденных на двух временных интервалах: от $0$ до $1.5$ мин и от $1.5$ мин до $T$. $s = \int_{0}^{1.5} (3 - 2t) \,dt + \int_{1.5}^{T} (2t - 3) \,dt = 4$

Первый интеграл равен $2.25$. Вычислим второй интеграл: $\int_{1.5}^{T} (2t - 3) \,dt = \left[t^2 - 3t\right]_{1.5}^{T} = (T^2 - 3T) - (1.5^2 - 3 \cdot 1.5) = (T^2 - 3T) - (2.25 - 4.5) = T^2 - 3T + 2.25$.

Теперь подставим вычисленные значения в уравнение для общего расстояния: $2.25 + (T^2 - 3T + 2.25) = 4$ $T^2 - 3T + 4.5 = 4$ $T^2 - 3T + 0.5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $T$: $T = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.5}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 2}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}$.

Мы получили два возможных значения для $T$: $T_1 = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}$ и $T_2 = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$. Учитывая, что мы ищем время $T > 1.5$, нужно выбрать подходящий корень. $T_1 = \frac{3 - \sqrt{7}}{2} \approx \frac{3 - 2.646}{2} \approx 0.177$. Это значение меньше 1.5, поэтому оно не является решением нашей задачи. $T_2 = \frac{3 + \sqrt{7}}{2} \approx \frac{3 + 2.646}{2} \approx 2.823$. Это значение больше 1.5, следовательно, это и есть искомое время.

Ответ: $\frac{3 + \sqrt{7}}{2}$ минуты.

б) Аналогично предыдущему пункту, искомое время $T$ находится из уравнения: $s = \int_{0}^{T} |v(t)| \,dt$

В этом случае дано $v(t) = \frac{1}{\sqrt{t+1}}$ и $s = 2$. Поскольку время $t \ge 0$, выражение под корнем $t+1$ всегда больше или равно 1. Следовательно, знаменатель $\sqrt{t+1}$ всегда положителен, и скорость $v(t)$ также всегда положительна. Это означает, что $|v(t)| = v(t)$.

Составим уравнение для нахождения $T$: $2 = \int_{0}^{T} \frac{1}{\sqrt{t+1}} \,dt$

Для вычисления интеграла представим подынтегральную функцию в виде $(t+1)^{-1/2}$: $\int \frac{1}{\sqrt{t+1}} \,dt = \int (t+1)^{-1/2} \,dt = \frac{(t+1)^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = \frac{(t+1)^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{t+1} + C$.

Теперь вычислим определенный интеграл: $\int_{0}^{T} \frac{1}{\sqrt{t+1}} \,dt = \left[2\sqrt{t+1}\right]_{0}^{T} = 2\sqrt{T+1} - 2\sqrt{0+1} = 2\sqrt{T+1} - 2$.

Подставим результат в исходное уравнение: $2 = 2\sqrt{T+1} - 2$ $4 = 2\sqrt{T+1}$ $2 = \sqrt{T+1}$

Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем: $4 = T+1$ $T = 3$

Ответ: 3 минуты.