Страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

21.61. a) $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 2^x - 1$, $x = 2$;

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $y = 2^{x-1}$, $x = 4$.

а)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 2^x - 1$ и $x = 2$, первым шагом является нахождение точек пересечения графиков функций $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = 2^x - 1$.

Приравняем выражения для $y$:

$\frac{1}{x^2} = 2^x - 1$

Легко заметить, что $x=1$ является решением этого уравнения, так как:

$\frac{1}{1^2} = 1$ и $2^1 - 1 = 1$.

Таким образом, область интегрирования определяется абсциссой точки пересечения $x=1$ и заданной вертикальной линией $x=2$. Интервал интегрирования: $[1, 2]$.

Далее, необходимо определить, какая из функций принимает большие значения на этом интервале. Сравним значения функций в произвольной точке интервала, например, при $x=1.5$:

$y(1.5) = 2^{1.5} - 1 = \sqrt{2^3} - 1 = \sqrt{8} - 1 \approx 2.828 - 1 = 1.828$

$y(1.5) = \frac{1}{1.5^2} = \frac{1}{2.25} \approx 0.444$

Поскольку на интервале $[1, 2]$ выполняется неравенство $2^x - 1 \ge \frac{1}{x^2}$, площадь фигуры $S$ находится как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_1^2 \left( (2^x - 1) - \frac{1}{x^2} \right) dx$

Вычисляем интеграл, находя первообразную для подынтегральной функции:

$\int \left( 2^x - 1 - x^{-2} \right) dx = \frac{2^x}{\ln 2} - x - \frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{2^x}{\ln 2} - x + \frac{1}{x} + C$

Теперь применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( \frac{2^x}{\ln 2} - x + \frac{1}{x} \right) \right|_1^2 = \left( \frac{2^2}{\ln 2} - 2 + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{2^1}{\ln 2} - 1 + \frac{1}{1} \right)$

$S = \left( \frac{4}{\ln 2} - \frac{3}{2} \right) - \left( \frac{2}{\ln 2} \right) = \frac{4}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 2} - \frac{3}{2} = \frac{2}{\ln 2} - \frac{3}{2}$

Ответ: $S = \frac{2}{\ln 2} - \frac{3}{2}$.

б)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $y = 2^{x-1}$ и $x = 4$, сначала найдем точку пересечения кривых $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ и $y = 2^{x-1}$.

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{1}{\sqrt{x}} = 2^{x-1}$

Подбором находим, что $x=1$ является корнем уравнения:

$\frac{1}{\sqrt{1}} = 1$ и $2^{1-1} = 2^0 = 1$.

Фигура ограничена слева точкой пересечения $x=1$ и справа прямой $x=4$. Таким образом, интервал интегрирования: $[1, 4]$.

Определим, какая из функций больше на этом интервале. Возьмем пробную точку, например $x=2$:

$y(2) = 2^{2-1} = 2^1 = 2$

$y(2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$

На интервале $[1, 4]$ выполняется неравенство $2^{x-1} \ge \frac{1}{\sqrt{x}}$. Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности функций:

$S = \int_1^4 \left( 2^{x-1} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) dx$

Вычисляем интеграл, находя первообразную:

$\int \left( 2^{x-1} - x^{-1/2} \right) dx = \frac{2^{x-1}}{\ln 2} - \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2^{x-1}}{\ln 2} - 2\sqrt{x} + C$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( \frac{2^{x-1}}{\ln 2} - 2\sqrt{x} \right) \right|_1^4 = \left( \frac{2^{4-1}}{\ln 2} - 2\sqrt{4} \right) - \left( \frac{2^{1-1}}{\ln 2} - 2\sqrt{1} \right)$

$S = \left( \frac{2^3}{\ln 2} - 2 \cdot 2 \right) - \left( \frac{2^0}{\ln 2} - 2 \cdot 1 \right) = \left( \frac{8}{\ln 2} - 4 \right) - \left( \frac{1}{\ln 2} - 2 \right)$

$S = \frac{8}{\ln 2} - 4 - \frac{1}{\ln 2} + 2 = \frac{7}{\ln 2} - 2$

Ответ: $S = \frac{7}{\ln 2} - 2$.

21.62. a) $y = e^x$, $y = \frac{e}{x}$, $x = e$, $x = 0$, $y = 0$;

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $y = x^2 + 1$, $x = 2$.

а)

Задача состоит в нахождении площади фигуры, ограниченной линиями $y = e^x$, $y = \frac{e}{x}$, $x = e$, $x = 0$ и $y = 0$. Для этого необходимо определить границы области интегрирования и саму подынтегральную функцию.

1. Найдем точку пересечения графиков функций $y = e^x$ и $y = \frac{e}{x}$, чтобы понять, как они соотносятся друг с другом.

$e^x = \frac{e}{x}$

$x e^x = e$

Подбором находим корень $x=1$, так как $1 \cdot e^1 = e$. Функция $f(x) = xe^x$ является строго возрастающей при $x>0$ (ее производная $f'(x) = e^x + xe^x = e^x(1+x) > 0$ при $x>0$), поэтому данное решение является единственным. Точка пересечения — $(1, e)$.

2. Фигура ограничена вертикальными прямыми $x=0$ и $x=e$, а снизу — осью абсцисс $y=0$. Верхняя граница фигуры формируется "нижней огибающей" двух кривых $y=e^x$ и $y=\frac{e}{x}$, так как иначе область не была бы ограничена всеми заданными линиями одновременно.

- На интервале $[0, 1]$: $e^x \le \frac{e}{x}$. Например, при $x=0.5$, $e^{0.5} \approx 1.65$, а $\frac{e}{0.5} = 2e \approx 5.44$. Таким образом, нижняя граница из двух кривых — это $y=e^x$.

- На интервале $[1, e]$: $\frac{e}{x} \le e^x$. Например, при $x=2$, $\frac{e}{2} \approx 1.36$, а $e^2 \approx 7.39$. Нижняя граница из двух кривых — это $y=\frac{e}{x}$.

3. Площадь искомой фигуры можно вычислить как сумму площадей двух криволинейных трапеций. Область интегрирования разбивается на два участка в точке $x=1$.

$S = \int_0^1 e^x dx + \int_1^e \frac{e}{x} dx$

4. Вычисляем каждый из интегралов.

Площадь первой части:

$S_1 = \int_0^1 e^x dx = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$.

Площадь второй части:

$S_2 = \int_1^e \frac{e}{x} dx = e \int_1^e \frac{1}{x} dx = e [\ln|x|]_1^e = e(\ln(e) - \ln(1)) = e(1 - 0) = e$.

5. Общая площадь равна сумме площадей двух частей:

$S = S_1 + S_2 = (e - 1) + e = 2e - 1$.

Ответ: $2e - 1$.

б)

Задача состоит в нахождении площади фигуры, ограниченной линиями $y = (\frac{1}{3})^x$, $y = x^2 + 1$ и $x = 2$.

1. Найдем точку пересечения графиков функций $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = x^2 + 1$.

$(\frac{1}{3})^x = x^2 + 1$

При $x=0$ левая часть равна $(\frac{1}{3})^0 = 1$, а правая $0^2+1=1$. Значит, графики пересекаются в точке $(0, 1)$. Это задает левую границу области интегрирования, $x=0$. Правая граница задана условием, $x=2$.

2. Определим, какая из функций задает верхнюю, а какая — нижнюю границу фигуры на отрезке $[0, 2]$.

Рассмотрим разность функций $f(x) = (x^2 + 1) - (\frac{1}{3})^x$. На интервале $(0, 2]$ функция $x^2+1$ возрастает, а функция $(\frac{1}{3})^x$ убывает. Поскольку в точке $x=0$ функции равны, то при $x>0$ будет выполняться неравенство $x^2+1 > (\frac{1}{3})^x$. Таким образом, кривая $y=x^2+1$ является верхней границей, а $y=(\frac{1}{3})^x$ — нижней.

3. Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $x=0$ до $x=2$.

$S = \int_0^2 \left( (x^2 + 1) - \left(\frac{1}{3}\right)^x \right) dx$

4. Вычислим интеграл. Первообразная для $(\frac{1}{3})^x = 3^{-x}$ равна $\frac{3^{-x}}{-\ln 3}$.

$S = \int_0^2 (x^2 + 1 - 3^{-x}) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x - \frac{3^{-x}}{-\ln 3} \right]_0^2 = \left[ \frac{x^3}{3} + x + \frac{3^{-x}}{\ln 3} \right]_0^2$

5. Подставим пределы интегрирования:

$S = \left( \frac{2^3}{3} + 2 + \frac{3^{-2}}{\ln 3} \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 + \frac{3^{-0}}{\ln 3} \right)$

$S = \left( \frac{8}{3} + 2 + \frac{1}{9 \ln 3} \right) - \left( 0 + 0 + \frac{1}{\ln 3} \right)$

$S = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} + \frac{1}{9 \ln 3} - \frac{9}{9 \ln 3}$

$S = \frac{14}{3} - \frac{8}{9 \ln 3}$

Ответ: $\frac{14}{3} - \frac{8}{9 \ln 3}$.

21.63. a) $y = x^3$, $y = 10 - x$, $x = 0$;

б) $y = x^3$, $y = 10 - x$, $y = 0$;

в) $y = -x^3$, $y = 5 + 4x$, $x = 0$;

г) $y = -x^3$, $y = 5 + 4x$, $y = 0$.

а) Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями $y = x^3$, $y = 10 - x$ и $x = 0$, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти точки пересечения кривых. Это поможет определить пределы интегрирования.
Приравняем функции $y = x^3$ и $y = 10 - x$:
$x^3 = 10 - x$
$x^3 + x - 10 = 0$
Решим это уравнение. Можно заметить, что $x=2$ является корнем, так как $2^3 + 2 - 10 = 8 + 2 - 10 = 0$.
Таким образом, графики пересекаются при $x=2$.
2. Определить, какая функция является верхней, а какая — нижней на интервале интегрирования.
Фигура ограничена слева прямой $x=0$ (ось y) и справа точкой пересечения $x=2$. Следовательно, интервал интегрирования — $[0, 2]$.
Чтобы определить, какая функция больше на этом интервале, возьмем любую точку из него, например, $x=1$:
Для $y = x^3$: $y(1) = 1^3 = 1$.
Для $y = 10 - x$: $y(1) = 10 - 1 = 9$.
Поскольку $9 > 1$, функция $y = 10 - x$ является верхней, а $y = x^3$ — нижней.
3. Вычислить площадь с помощью определенного интеграла.
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$, где $f(x)$ — верхняя функция, а $g(x)$ — нижняя.
$S = \int_{0}^{2} ((10 - x) - x^3) dx = \int_{0}^{2} (10 - x - x^3) dx$
Вычислим интеграл:
$S = \left[ 10x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \left( 10 \cdot 2 - \frac{2^2}{2} - \frac{2^4}{4} \right) - \left( 10 \cdot 0 - \frac{0^2}{2} - \frac{0^4}{4} \right)$
$S = \left( 20 - \frac{4}{2} - \frac{16}{4} \right) - 0 = 20 - 2 - 4 = 14$.
Ответ: 14.

б) Фигура ограничена линиями $y = x^3$, $y = 10 - x$ и $y = 0$ (ось x).
1. Найдем точки пересечения этих линий:
Пересечение $y = x^3$ и $y = 0$: $x^3 = 0 \implies x = 0$.
Пересечение $y = 10 - x$ и $y = 0$: $10 - x = 0 \implies x = 10$.
Пересечение $y = x^3$ и $y = 10 - x$: $x^3 + x - 10 = 0 \implies x = 2$ (из пункта а).
2. Визуализируем фигуру. Она расположена над осью x ($y=0$). Точка пересечения $x=2$ разделяет фигуру на две части.
На интервале $[0, 2]$ фигура ограничена сверху кривой $y = x^3$, а снизу — осью $y=0$.
На интервале $[2, 10]$ фигура ограничена сверху прямой $y = 10 - x$, а снизу — осью $y=0$.
3. Площадь фигуры — это сумма площадей двух областей.
$S = S_1 + S_2$
$S_1 = \int_{0}^{2} (x^3 - 0) dx = \int_{0}^{2} x^3 dx$
$S_2 = \int_{2}^{10} ((10 - x) - 0) dx = \int_{2}^{10} (10 - x) dx$
Вычислим каждый интеграл:
$S_1 = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
$S_2 = \left[ 10x - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{10} = \left( 10 \cdot 10 - \frac{10^2}{2} \right) - \left( 10 \cdot 2 - \frac{2^2}{2} \right) = (100 - 50) - (20 - 2) = 50 - 18 = 32$.
Общая площадь:
$S = S_1 + S_2 = 4 + 32 = 36$.
Ответ: 36.

в) Фигура ограничена линиями $y = -x^3$, $y = 5 + 4x$ и $x = 0$.
1. Найдем точку пересечения $y = -x^3$ и $y = 5 + 4x$:
$-x^3 = 5 + 4x$
$x^3 + 4x + 5 = 0$
Подбором находим корень $x = -1$, так как $(-1)^3 + 4(-1) + 5 = -1 - 4 + 5 = 0$.
2. Определим интервал интегрирования и расположение функций.
Фигура ограничена прямыми $x=-1$ и $x=0$. Интервал интегрирования — $[-1, 0]$.
Возьмем точку $x = -0.5$ из этого интервала:
Для $y = -x^3$: $y(-0.5) = -(-0.5)^3 = 0.125$.
Для $y = 5 + 4x$: $y(-0.5) = 5 + 4(-0.5) = 5 - 2 = 3$.
Так как $3 > 0.125$, функция $y = 5 + 4x$ является верхней.
3. Вычислим площадь:
$S = \int_{-1}^{0} ((5 + 4x) - (-x^3)) dx = \int_{-1}^{0} (x^3 + 4x + 5) dx$
$S = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{4x^2}{2} + 5x \right]_{-1}^{0} = \left[ \frac{x^4}{4} + 2x^2 + 5x \right]_{-1}^{0}$
$S = (0) - \left( \frac{(-1)^4}{4} + 2(-1)^2 + 5(-1) \right) = - \left( \frac{1}{4} + 2 - 5 \right) = - \left( \frac{1}{4} - 3 \right) = - \left( \frac{1 - 12}{4} \right) = - \left( -\frac{11}{4} \right) = \frac{11}{4}$.
Ответ: $\frac{11}{4}$.

г) Фигура ограничена линиями $y = -x^3$, $y = 5 + 4x$ и $y = 0$.
1. Найдем точки пересечения:
Пересечение $y = -x^3$ и $y = 0$: $-x^3 = 0 \implies x = 0$.
Пересечение $y = 5 + 4x$ и $y = 0$: $5 + 4x = 0 \implies x = -5/4$.
Пересечение $y = -x^3$ и $y = 5 + 4x$: $x = -1$ (из пункта в).
2. Фигура находится над осью x. Точка пересечения $x=-1$ делит ее на две части.
На интервале $[-5/4, -1]$ фигура ограничена сверху прямой $y = 5 + 4x$ и снизу осью $y=0$.
На интервале $[-1, 0]$ фигура ограничена сверху кривой $y = -x^3$ и снизу осью $y=0$.
3. Площадь равна сумме площадей:
$S = S_1 + S_2 = \int_{-5/4}^{-1} (5 + 4x) dx + \int_{-1}^{0} (-x^3) dx$
Вычислим интегралы:
$S_1 = \left[ 5x + 2x^2 \right]_{-5/4}^{-1} = (5(-1) + 2(-1)^2) - (5(-\frac{5}{4}) + 2(-\frac{5}{4})^2) = (-5 + 2) - (-\frac{25}{4} + 2\frac{25}{16}) = -3 - (-\frac{50}{8} + \frac{25}{8}) = -3 - (-\frac{25}{8}) = -3 + \frac{25}{8} = \frac{1}{8}$.
$S_2 = \left[ -\frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{0} = (-\frac{0^4}{4}) - (-\frac{(-1)^4}{4}) = 0 - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$.
Общая площадь:
$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$.

21.64. a) $y = |x|$, $y = -|x| + 2$;

б) $y = |x + 1|$, $y = -(x - 1)^2 + 2$;

в) $y = |x| - 2$, $y = \frac{x}{2}$;

г) $y = (x - 1)^2$, $y = -|x + 1| + 2$.

Чтобы найти точки пересечения графиков двух функций, необходимо приравнять их правые части и решить полученное уравнение относительно переменной $x$. Затем, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений, найти соответствующие значения $y$.

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = |x|$ и $y = -|x| + 2$ приравняем их правые части:

$|x| = -|x| + 2$

Перенесем $-|x|$ в левую часть уравнения:

$|x| + |x| = 2$

$2|x| = 2$

$|x| = 1$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в первую функцию $y = |x|$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = |1| = 1$.

При $x_2 = -1$, $y_2 = |-1| = 1$.

Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Ответ: $(1; 1), (-1; 1)$.

Приравняем правые части уравнений $y = |x + 1|$ и $y = -(x - 1)^2 + 2$:

$|x + 1| = -(x - 1)^2 + 2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. В этом случае $|x + 1| = x + 1$.

$x + 1 = -(x^2 - 2x + 1) + 2$

$x + 1 = -x^2 + 2x - 1 + 2$

$x + 1 = -x^2 + 2x + 1$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge -1$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = |x + 1|$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = |0 + 1| = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.

При $x_2 = 1$, $y_2 = |1 + 1| = 2$. Получаем точку $(1; 2)$.

Случай 2: $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$. В этом случае $|x + 1| = -(x + 1)$.

$-(x + 1) = -(x - 1)^2 + 2$

$-x - 1 = -x^2 + 2x + 1$

$x^2 - 3x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x < -1$. Так как $4 < \sqrt{17} < 5$:

$x_3 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} > \frac{3 + 4}{2} = 3.5$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < -1$.

$x_4 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$. Так как $-2 < 3-\sqrt{17} < -1$, то $-1 < \frac{3 - \sqrt{17}}{2} < -0.5$. Этот корень также не удовлетворяет условию $x < -1$.

Во втором случае решений нет.

Ответ: $(0; 1), (1; 2)$.

Приравняем правые части уравнений $y = |x| - 2$ и $y = \frac{x}{2}$:

$|x| - 2 = \frac{x}{2}$

$|x| = \frac{x}{2} + 2$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$.

$x = \frac{x}{2} + 2$

$x - \frac{x}{2} = 2 \implies \frac{x}{2} = 2 \implies x_1 = 4$.

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Найдем $y_1$: $y_1 = \frac{4}{2} = 2$. Получаем точку $(4; 2)$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.

$-x = \frac{x}{2} + 2$

$-2 = x + \frac{x}{2} \implies -2 = \frac{3x}{2} \implies x_2 = -\frac{4}{3}$.

Корень $x_2 = -4/3$ удовлетворяет условию $x < 0$.

Найдем $y_2$: $y_2 = \frac{-4/3}{2} = -\frac{2}{3}$. Получаем точку $(-\frac{4}{3}; -\frac{2}{3})$.

Ответ: $(4; 2), (-\frac{4}{3}; -\frac{2}{3})$.

Приравняем правые части уравнений $y = (x - 1)^2$ и $y = -|x + 1| + 2$:

$(x - 1)^2 = -|x + 1| + 2$

Выразим из уравнения модуль:

$|x + 1| = -(x - 1)^2 + 2$

Это уравнение для нахождения $x$ идентично уравнению из пункта б). Следовательно, его решениями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в первую функцию $y = (x - 1)^2$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = (0 - 1)^2 = (-1)^2 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.

При $x_2 = 1$, $y_2 = (1 - 1)^2 = 0^2 = 0$. Получаем точку $(1; 0)$.

Для проверки подставим эти точки во второе уравнение $y = -|x + 1| + 2$:

Для $(0; 1)$: $y = -|0 + 1| + 2 = -1 + 2 = 1$. Верно.

Для $(1; 0)$: $y = -|1 + 1| + 2 = -2 + 2 = 0$. Верно.

Ответ: $(0; 1), (1; 0)$.

21.65. a) $y = 3 - x^2$, $y = 1 + |x|$;

б) $y = x^2$, $y = 2 - |x|$.

а)

Задача состоит в нахождении площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = 3 - x^2$ и $y = 1 + |x|$.

1. Анализ функций и поиск точек пересечения.

Функция $y = 3 - x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 3)$.

Функция $y = 1 + |x|$ — это график, состоящий из двух лучей, выходящих из точки $(0, 1)$. При $x \ge 0$ это $y = 1 + x$, а при $x < 0$ это $y = 1 - x$.

Обе функции являются четными, так как $f(-x) = f(x)$. Это значит, что искомая фигура симметрична относительно оси OY.

Найдем точки пересечения, решив уравнение $3 - x^2 = 1 + |x|$. В силу симметрии, достаточно найти решение для $x \ge 0$, где $|x| = x$.

$3 - x^2 = 1 + x$

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти, разложив на множители: $(x+2)(x-1) = 0$. Получаем корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Так как мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нам подходит только корень $x = 1$.

Из-за симметрии вторая точка пересечения будет иметь абсциссу $x = -1$. Таким образом, пределы интегрирования — от $-1$ до $1$.

2. Вычисление площади.

В интервале $(-1, 1)$ график параболы $y = 3 - x^2$ лежит выше графика $y = 1 + |x|$. Например, при $x = 0$, $y_{параболы} = 3$, а $y_{модуля} = 1$.

Площадь $S$ фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-1}^{1} ((3 - x^2) - (1 + |x|)) dx = \int_{-1}^{1} (2 - x^2 - |x|) dx$

Поскольку подынтегральная функция $f(x) = 2 - x^2 - |x|$ четная, мы можем упростить вычисление, взяв интеграл от $0$ до $1$ и удвоив результат. На этом отрезке $|x|=x$.

$S = 2 \int_{0}^{1} (2 - x^2 - x) dx$

Найдем первообразную и вычислим интеграл:

$S = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 2 \left( (2 \cdot 1 - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2}) - (0) \right)$

$S = 2 \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) = 2 \left( \frac{12 - 2 - 3}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

Ответ: $\frac{7}{3}$

б)

Задача состоит в нахождении площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2$ и $y = 2 - |x|$.

1. Анализ функций и поиск точек пересечения.

Функция $y = x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$.

Функция $y = 2 - |x|$ — это график, состоящий из двух лучей, выходящих из точки $(0, 2)$, с ветвями, направленными вниз.

Обе функции являются четными, значит, фигура симметрична относительно оси OY.

Найдем точки пересечения, решив уравнение $x^2 = 2 - |x|$. Рассмотрим случай $x \ge 0$, где $|x| = x$.

$x^2 = 2 - x$

$x^2 + x - 2 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Учитывая условие $x \ge 0$, нам подходит $x = 1$.

В силу симметрии, вторая точка пересечения будет при $x = -1$. Пределы интегрирования — от $-1$ до $1$.

2. Вычисление площади.

В интервале $(-1, 1)$ график функции $y = 2 - |x|$ лежит выше графика параболы $y = x^2$. Например, при $x = 0$, $y_{модуля} = 2$, а $y_{параболы} = 0$.

Площадь $S$ фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-1}^{1} ((2 - |x|) - x^2) dx$

Подынтегральная функция $f(x) = 2 - |x| - x^2$ является четной, поэтому воспользуемся свойством симметрии:

$S = 2 \int_{0}^{1} (2 - x - x^2) dx$

Найдем первообразную и вычислим интеграл:

$S = 2 \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( (2 \cdot 1 - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}) - (0) \right)$

$S = 2 \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{12 - 3 - 2}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

Ответ: $\frac{7}{3}$

21.66. a) $y = |x^2 - 4|$, $x = 3$, $x = -3$, $y = 0$;

б) $y = |x^2 - 2|x||$, $x = 3$, $x = -3$, $y = 0$.

а) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = |x^2 - 4|$, прямыми $x = 3$, $x = -3$ и осью абсцисс $y = 0$.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле определенного интеграла: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$. В нашем случае $f(x) = |x^2 - 4|$, $a = -3$, $b = 3$.

$$ S = \int_{-3}^{3} |x^2 - 4| \,dx $$

Для того чтобы раскрыть модуль, определим знаки выражения $x^2 - 4$ на отрезке $[-3, 3]$.

$x^2 - 4 = 0$ при $x = -2$ и $x = 2$.

• При $x \in [-3, -2]$, $x^2 - 4 \ge 0$, следовательно $|x^2 - 4| = x^2 - 4$.
• При $x \in (-2, 2)$, $x^2 - 4 < 0$, следовательно $|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$.
• При $x \in [2, 3]$, $x^2 - 4 \ge 0$, следовательно $|x^2 - 4| = x^2 - 4$.

Таким образом, интеграл можно разбить на три части:

$$ S = \int_{-3}^{-2} (x^2 - 4) \,dx + \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \,dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 4) \,dx $$

Заметим, что функция $y = |x^2 - 4|$ является четной, так как $y(-x) = |(-x)^2 - 4| = |x^2 - 4| = y(x)$, а промежуток интегрирования $[-3, 3]$ симметричен относительно нуля. Это позволяет упростить вычисления:

$$ S = 2 \int_{0}^{3} |x^2 - 4| \,dx = 2 \left( \int_{0}^{2} (4 - x^2) \,dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 4) \,dx \right) $$

Вычислим каждый интеграл:

$$ \int_{0}^{2} (4 - x^2) \,dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( 4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3} \right) - 0 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} $$

$$ \int_{2}^{3} (x^2 - 4) \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_{2}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} - 4 \cdot 3 \right) - \left( \frac{2^3}{3} - 4 \cdot 2 \right) = (9 - 12) - \left( \frac{8}{3} - 8 \right) = -3 - \left( -\frac{16}{3} \right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3} $$

Теперь найдем общую площадь:

$$ S = 2 \left( \frac{16}{3} + \frac{7}{3} \right) = 2 \cdot \frac{23}{3} = \frac{46}{3} = 15 \frac{1}{3} $$

Ответ: $S = \frac{46}{3}$.

б) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = |x^2 - 2|x||$, прямыми $x = 3$, $x = -3$ и осью абсцисс $y = 0$.

Площадь вычисляется по формуле:

$$ S = \int_{-3}^{3} |x^2 - 2|x|| \,dx $$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Тогда функцию можно переписать в виде $y = ||x|^2 - 2|x||$. Это показывает, что функция является четной, так как замена $x$ на $-x$ не изменяет $|x|$, а значит, и значение функции. Поскольку функция четная, а промежуток интегрирования $[-3, 3]$ симметричен, можно упростить вычисление:

$$ S = 2 \int_{0}^{3} |x^2 - 2|x|| \,dx $$

На промежутке $[0, 3]$ имеем $x \ge 0$, поэтому $|x| = x$. Функция принимает вид $y = |x^2 - 2x|$.

$$ S = 2 \int_{0}^{3} |x^2 - 2x| \,dx $$

Для раскрытия модуля найдем знаки выражения $x^2 - 2x = x(x-2)$ на отрезке $[0, 3]$.

• При $x \in [0, 2]$, $x^2 - 2x \le 0$, следовательно $|x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) = 2x - x^2$.
• При $x \in (2, 3]$, $x^2 - 2x > 0$, следовательно $|x^2 - 2x| = x^2 - 2x$.

Разобьем интеграл на две части:

$$ S = 2 \left( \int_{0}^{2} (2x - x^2) \,dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 2x) \,dx \right) $$

Вычислим каждый интеграл:

$$ \int_{0}^{2} (2x - x^2) \,dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} $$

$$ \int_{2}^{3} (x^2 - 2x) \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{2}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} - 3^2 \right) - \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 \right) = (9 - 9) - \left( \frac{8}{3} - 4 \right) = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} $$

Теперь найдем общую площадь:

$$ S = 2 \left( \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \right) = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3} $$

Ответ: $S = \frac{16}{3}$.

21.67. a) $y = \sin 2x$, $y = \frac{16x^2}{\pi^2}$;

б) $y = x^2 - 1$, $y = \cos \frac{\pi x}{2}$;

в) $y = \cos x$, $y = \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right)^2$;

г) $y = x^2 - 2x$, $y = \sin \frac{\pi x}{2}$.

Для нахождения точек пересечения графиков двух функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ необходимо решить уравнение $f(x) = g(x)$.

а) $y = \sin 2x, y = \frac{16x^2}{\pi^2}$

Приравниваем функции: $$ \sin 2x = \frac{16x^2}{\pi^2} $$ Проверим очевидные решения. Если $x = 0$, то $\sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$ и $\frac{16 \cdot 0^2}{\pi^2} = 0$. Следовательно, $x = 0$ является корнем уравнения.

Рассмотрим правую часть уравнения. Это парабола $y = \frac{16x^2}{\pi^2}$ с вершиной в точке $(0, 0)$. Рассмотрим левую часть, $y = \sin 2x$. Область значений этой функции — отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, решения могут существовать только при условии, что правая часть также находится в этом диапазоне: $$ 0 \le \frac{16x^2}{\pi^2} \le 1 $$ Решим неравенство: $$ x^2 \le \frac{\pi^2}{16} $$ $$ |x| \le \frac{\pi}{4} $$ Таким образом, все решения лежат на отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.

Проверим границы этого отрезка. При $x = \frac{\pi}{4}$: Левая часть: $\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Правая часть: $\frac{16}{\pi^2} \cdot (\frac{\pi}{4})^2 = \frac{16}{\pi^2} \cdot \frac{\pi^2}{16} = 1$. Так как $1=1$, $x = \frac{\pi}{4}$ является решением.

При $x = -\frac{\pi}{4}$: Левая часть: $\sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Правая часть: $\frac{16}{\pi^2} \cdot (-\frac{\pi}{4})^2 = \frac{16}{\pi^2} \cdot \frac{\pi^2}{16} = 1$. Так как $-1 \neq 1$, $x = -\frac{\pi}{4}$ не является решением.

Рассмотрим интервал $(-\frac{\pi}{4}, 0)$. На этом интервале $2x \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$, поэтому $\sin 2x < 0$. Однако $\frac{16x^2}{\pi^2} > 0$. Следовательно, на этом интервале решений нет. На интервале $(0, \frac{\pi}{4})$ функция $y = \sin 2x$ является вогнутой (ее вторая производная $(-4\sin 2x)$ отрицательна), а функция $y = \frac{16x^2}{\pi^2}$ является выпуклой (ее вторая производная $\frac{32}{\pi^2}$ положительна). Две кривые с разной направленностью выпуклости могут пересекаться не более чем в двух точках. Мы уже нашли две точки пересечения $x=0$ и $x=\frac{\pi}{4}$, поэтому других решений на этом интервале нет.

Ответ: $x=0$, $x=\frac{\pi}{4}$.

б) $y = x^2 - 1, y = \cos\frac{\pi x}{2}$

Приравниваем функции: $$ x^2 - 1 = \cos\frac{\pi x}{2} $$ Область значений функции $y=\cos\frac{\pi x}{2}$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, должно выполняться неравенство: $$ -1 \le x^2 - 1 \le 1 $$ Первая часть неравенства $x^2 - 1 \ge -1 \implies x^2 \ge 0$ верна для всех $x$. Вторая часть неравенства $x^2 - 1 \le 1 \implies x^2 \le 2 \implies |x| \le \sqrt{2}$. Значит, все решения находятся на отрезке $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Проверим некоторые значения. Обе функции, $y=x^2-1$ и $y=\cos\frac{\pi x}{2}$, являются четными, поэтому если $x_0$ является решением, то и $-x_0$ тоже будет решением. При $x=1$: $1^2 - 1 = 0$ и $\cos(\frac{\pi \cdot 1}{2}) = 0$. Значит, $x=1$ — решение. Из-за четности, $x=-1$ также является решением: $(-1)^2 - 1 = 0$ и $\cos(\frac{\pi \cdot (-1)}{2}) = 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - 1 - \cos\frac{\pi x}{2}$ на отрезке $[0, \sqrt{2}]$. Мы ищем нули этой функции. Мы уже знаем, что $f(1)=0$. Найдём производную: $f'(x) = 2x + \frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi x}{2}$. На интервале $(0, 1)$ оба слагаемых $2x$ и $\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi x}{2}$ положительны, значит $f'(x) > 0$. Функция $f(x)$ строго возрастает на $(0, 1)$. Поскольку $f(0) = 0^2 - 1 - \cos(0) = -2$, а $f(1) = 0$, то $x=1$ — единственный корень на отрезке $[0, 1]$. На интервале $(1, \sqrt{2}]$ имеем $x^2-1 > 0$, а $\frac{\pi x}{2} \in (\frac{\pi}{2}, \frac{\pi\sqrt{2}}{2}]$, поэтому $\cos\frac{\pi x}{2} < 0$. Положительное число не может равняться отрицательному, поэтому решений на этом интервале нет. В силу четности, единственным решением на $[-\sqrt{2}, 0)$ является $x=-1$.

Ответ: $x=-1$, $x=1$.

в) $y = \cos x, y = \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right)^2$

Приравниваем функции: $$ \cos x = \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right)^2 $$ Правая часть уравнения неотрицательна, поэтому $\cos x \ge 0$. Область значений косинуса — отрезок $[-1, 1]$, поэтому $\left(\frac{2x}{\pi} - 1\right)^2 \le 1$. Решим это неравенство: $$ -1 \le \frac{2x}{\pi} - 1 \le 1 $$ $$ 0 \le \frac{2x}{\pi} \le 2 $$ $$ 0 \le x \le \pi $$ Итак, все решения находятся на отрезке $[0, \pi]$. Учитывая, что $\cos x \ge 0$, мы сужаем поиск до отрезка $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Проверим концы этого отрезка. При $x=0$: $\cos(0) = 1$ и $(\frac{2 \cdot 0}{\pi} - 1)^2 = (-1)^2 = 1$. Значит, $x=0$ — решение. При $x=\frac{\pi}{2}$: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $(\frac{2 \cdot \pi/2}{\pi} - 1)^2 = (1 - 1)^2 = 0$. Значит, $x=\frac{\pi}{2}$ — решение.

Рассмотрим функцию $h(x) = \cos x - \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right)^2$ на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$. Ее вторая производная: $h''(x) = -\cos x - \frac{8}{\pi^2}$. На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ имеем $\cos x > 0$, поэтому $h''(x) < 0$. Это означает, что функция $h(x)$ является строго вогнутой на этом интервале. Строго вогнутая функция, которая обращается в ноль на концах интервала ($h(0)=0$ и $h(\frac{\pi}{2})=0$), принимает положительные значения внутри него. Таким образом, других корней на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ нет.

Ответ: $x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$.

г) $y = x^2 - 2x, y = \sin\frac{\pi x}{2}$

Приравниваем функции: $$ x^2 - 2x = \sin\frac{\pi x}{2} $$ Область значений синуса — отрезок $[-1, 1]$, значит должно выполняться неравенство: $$ -1 \le x^2 - 2x \le 1 $$ Первая часть: $x^2 - 2x \ge -1 \implies x^2 - 2x + 1 \ge 0 \implies (x-1)^2 \ge 0$. Это верно для любого $x$. Вторая часть: $x^2 - 2x \le 1 \implies x^2 - 2x - 1 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$ равны $x = 1 \pm \sqrt{2}$. Следовательно, решения неравенства лежат на отрезке $[1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}]$, что примерно равно $[-0.414, 2.414]$.

Проверим целочисленные значения из этого диапазона. При $x=0$: $0^2 - 2 \cdot 0 = 0$ и $\sin(\frac{\pi \cdot 0}{2}) = 0$. Значит, $x=0$ — решение. При $x=1$: $1^2 - 2 \cdot 1 = -1$ и $\sin(\frac{\pi \cdot 1}{2}) = 1$. $-1 \neq 1$, не является решением. При $x=2$: $2^2 - 2 \cdot 2 = 0$ и $\sin(\frac{\pi \cdot 2}{2}) = \sin(\pi) = 0$. Значит, $x=2$ — решение.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - 2x - \sin\frac{\pi x}{2}$ на отрезке $[0, 2]$. Мы ищем нули этой функции. Мы уже знаем, что $f(0)=0$ и $f(2)=0$. Найдем вторую производную: $f''(x) = 2 + (\frac{\pi}{2})^2 \sin\frac{\pi x}{2}$. На интервале $(0, 2)$, аргумент синуса $\frac{\pi x}{2}$ находится в интервале $(0, \pi)$, где $\sin\frac{\pi x}{2} > 0$. Следовательно, $f''(x) > 0$ на всем интервале $(0, 2)$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго выпуклой (вогнутой вверх) на $(0, 2)$. Строго выпуклая функция может иметь не более двух корней. Так как мы уже нашли два корня $x=0$ и $x=2$, других корней на отрезке $[0, 2]$ нет.

Вне отрезка $[0, 2]$, но в пределах $[1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}]$: На интервале $[1-\sqrt{2}, 0) \approx [-0.414, 0)$, парабола $y=x^2-2x = x(x-2)$ положительна, а синусоида $y=\sin\frac{\pi x}{2}$ отрицательна. Решений нет. На интервале $(2, 1+\sqrt{2}] \approx (2, 2.414]$, парабола $y=x^2-2x$ снова положительна, а синусоида $y=\sin\frac{\pi x}{2}$ отрицательна. Решений нет.

Ответ: $x=0$, $x=2$.