Номер 21.64, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.64, страница 144.

21.64. a) $y = |x|$, $y = -|x| + 2$;

б) $y = |x + 1|$, $y = -(x - 1)^2 + 2$;

в) $y = |x| - 2$, $y = \frac{x}{2}$;

г) $y = (x - 1)^2$, $y = -|x + 1| + 2$.

Чтобы найти точки пересечения графиков двух функций, необходимо приравнять их правые части и решить полученное уравнение относительно переменной $x$. Затем, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений, найти соответствующие значения $y$.

а)

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = |x|$ и $y = -|x| + 2$ приравняем их правые части:

$|x| = -|x| + 2$

Перенесем $-|x|$ в левую часть уравнения:

$|x| + |x| = 2$

$2|x| = 2$

$|x| = 1$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в первую функцию $y = |x|$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = |1| = 1$.

При $x_2 = -1$, $y_2 = |-1| = 1$.

Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Ответ: $(1; 1), (-1; 1)$.

б)

Приравняем правые части уравнений $y = |x + 1|$ и $y = -(x - 1)^2 + 2$:

$|x + 1| = -(x - 1)^2 + 2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. В этом случае $|x + 1| = x + 1$.

$x + 1 = -(x^2 - 2x + 1) + 2$

$x + 1 = -x^2 + 2x - 1 + 2$

$x + 1 = -x^2 + 2x + 1$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge -1$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = |x + 1|$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = |0 + 1| = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.

При $x_2 = 1$, $y_2 = |1 + 1| = 2$. Получаем точку $(1; 2)$.

Случай 2: $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$. В этом случае $|x + 1| = -(x + 1)$.

$-(x + 1) = -(x - 1)^2 + 2$

$-x - 1 = -x^2 + 2x + 1$

$x^2 - 3x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x < -1$. Так как $4 < \sqrt{17} < 5$:

$x_3 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} > \frac{3 + 4}{2} = 3.5$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < -1$.

$x_4 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$. Так как $-2 < 3-\sqrt{17} < -1$, то $-1 < \frac{3 - \sqrt{17}}{2} < -0.5$. Этот корень также не удовлетворяет условию $x < -1$.

Во втором случае решений нет.

Ответ: $(0; 1), (1; 2)$.

в)

Приравняем правые части уравнений $y = |x| - 2$ и $y = \frac{x}{2}$:

$|x| - 2 = \frac{x}{2}$

$|x| = \frac{x}{2} + 2$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$.

$x = \frac{x}{2} + 2$

$x - \frac{x}{2} = 2 \implies \frac{x}{2} = 2 \implies x_1 = 4$.

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Найдем $y_1$: $y_1 = \frac{4}{2} = 2$. Получаем точку $(4; 2)$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.

$-x = \frac{x}{2} + 2$

$-2 = x + \frac{x}{2} \implies -2 = \frac{3x}{2} \implies x_2 = -\frac{4}{3}$.

Корень $x_2 = -4/3$ удовлетворяет условию $x < 0$.

Найдем $y_2$: $y_2 = \frac{-4/3}{2} = -\frac{2}{3}$. Получаем точку $(-\frac{4}{3}; -\frac{2}{3})$.

Ответ: $(4; 2), (-\frac{4}{3}; -\frac{2}{3})$.

г)

Приравняем правые части уравнений $y = (x - 1)^2$ и $y = -|x + 1| + 2$:

$(x - 1)^2 = -|x + 1| + 2$

Выразим из уравнения модуль:

$|x + 1| = -(x - 1)^2 + 2$

Это уравнение для нахождения $x$ идентично уравнению из пункта б). Следовательно, его решениями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в первую функцию $y = (x - 1)^2$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = (0 - 1)^2 = (-1)^2 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.

При $x_2 = 1$, $y_2 = (1 - 1)^2 = 0^2 = 0$. Получаем точку $(1; 0)$.

Для проверки подставим эти точки во второе уравнение $y = -|x + 1| + 2$:

Для $(0; 1)$: $y = -|0 + 1| + 2 = -1 + 2 = 1$. Верно.

Для $(1; 0)$: $y = -|1 + 1| + 2 = -2 + 2 = 0$. Верно.

Ответ: $(0; 1), (1; 0)$.