Номер 21.68, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.68, страница 145.

21.68. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой, изображённой на заданном рисунке:

а) рис. 7;
б) рис. 8.

Рис. 7

Рис. 8

а) рис. 7

Для того чтобы найти площадь фигуры, сначала необходимо определить уравнения параболы и прямой, затем найти их точки пересечения (которые определят пределы интегрирования), и, наконец, вычислить площадь как определенный интеграл разности функций.

1. Определение уравнений функций.

Парабола: Это парабола с ветвями, направленными вниз. Её вершина находится в точке $(1, 1)$. Общее уравнение параболы с вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $y = a(x-h)^2 + k$. Подставляя координаты вершины, получаем $y = a(x-1)^2 + 1$. Для нахождения коэффициента $a$ воспользуемся точкой на параболе, например, $(0, 0)$.
$0 = a(0-1)^2 + 1 \Rightarrow 0 = a + 1 \Rightarrow a = -1$.
Следовательно, уравнение параболы: $y = -(x-1)^2 + 1 = -(x^2 - 2x + 1) + 1 = -x^2 + 2x$.
Обозначим функцию параболы как $y_{парабола}(x) = -x^2 + 2x$.

Прямая: Прямая проходит через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Из точки $(0, -2)$ находим y-пересечение $b = -2$. Коэффициент наклона $k$ найдем по двум точкам:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-2)}{2 - 0} = \frac{2}{2} = 1$.
Уравнение прямой: $y = x - 2$.
Обозначим функцию прямой как $y_{прямая}(x) = x - 2$.

2. Нахождение пределов интегрирования.

Найдем точки пересечения параболы и прямой, приравняв их уравнения:
$-x^2 + 2x = x - 2$
$-x^2 + x + 2 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Это и будут пределы интегрирования.

3. Вычисление площади.

Площадь $S$ фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций. На интервале $[-1, 2]$ парабола $y_{парабола}$ находится выше прямой $y_{прямая}$.
$S = \int_{-1}^{2} (y_{парабола}(x) - y_{прямая}(x)) dx = \int_{-1}^{2} ((-x^2 + 2x) - (x - 2)) dx$
$S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$
Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2} = \left(-\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1)\right)$
$S = \left(-\frac{8}{3} + 2 + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right)$
$S = \left(6 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{2+3-12}{6}\right) = \frac{18-8}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right)$
$S = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4,5$

Ответ: $4,5$.

б) рис. 8

Действуем по той же схеме.

1. Определение уравнений функций.

Парабола: Это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина в точке $(1, -2)$. Уравнение имеет вид $y = a(x-1)^2 - 2$. Используем точку $(0, -1)$ для нахождения $a$:
$-1 = a(0-1)^2 - 2 \Rightarrow -1 = a - 2 \Rightarrow a = 1$.
Уравнение параболы: $y = (x-1)^2 - 2 = x^2 - 2x + 1 - 2 = x^2 - 2x - 1$.
Обозначим $y_{парабола}(x) = x^2 - 2x - 1$.

Прямая: Прямая проходит через точки $(-1, 2)$ и $(2, -1)$.
Коэффициент наклона $k = \frac{-1 - 2}{2 - (-1)} = \frac{-3}{3} = -1$.
Уравнение прямой $y = -x + b$. Подставим точку $(-1, 2)$: $2 = -(-1) + b \Rightarrow 2 = 1 + b \Rightarrow b = 1$.
Уравнение прямой: $y = -x + 1$.
Обозначим $y_{прямая}(x) = -x + 1$.

2. Нахождение пределов интегрирования.

Приравняем уравнения:
$x^2 - 2x - 1 = -x + 1$
$x^2 - x - 2 = 0$
Корни этого уравнения также $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

3. Вычисление площади.

На интервале $[-1, 2]$ прямая $y_{прямая}$ находится выше параболы $y_{парабола}$.
$S = \int_{-1}^{2} (y_{прямая}(x) - y_{парабола}(x)) dx = \int_{-1}^{2} ((-x + 1) - (x^2 - 2x - 1)) dx$
$S = \int_{-1}^{2} (-x + 1 - x^2 + 2x + 1) dx$
$S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$
Полученный интеграл полностью идентичен интегралу из пункта а). Следовательно, и его значение будет таким же.
$S = 4,5$.

Ответ: $4,5$.