Номер 21.57, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.57, страница 143.

21.57. a) $x = 1$, $y = e^x$, $y = e^{-x}$;

б) $y = \frac{1}{e^x}$, $y = 1$, $x = -1$;

в) $y = e^x$, $x = 2$, $x + 2y = 2$;

г) $y = e^x$, $x = 2$, $x = 0$, $y = -e^x$.

а) Фигура ограничена кривыми $y=e^x$, $y=e^{-x}$ и прямой $x=1$. Для нахождения пределов интегрирования найдем точку пересечения кривых $y=e^x$ и $y=e^{-x}$:
$e^x = e^{-x} \implies e^{2x} = 1 \implies 2x = 0 \implies x=0$.
Таким образом, интегрирование производится по отрезку $[0, 1]$. На этом отрезке для $x>0$ справедливо неравенство $e^x > e^{-x}$, следовательно, кривая $y=e^x$ является верхней границей, а $y=e^{-x}$ — нижней.
Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл разности функций:
$S = \int_{0}^{1} (e^x - e^{-x}) dx = [e^x - (-e^{-x})]_{0}^{1} = [e^x + e^{-x}]_{0}^{1}$
$S = (e^1 + e^{-1}) - (e^0 + e^{-0}) = (e + \frac{1}{e}) - (1+1) = e + \frac{1}{e} - 2$.
Ответ: $e + \frac{1}{e} - 2$

б) Фигура ограничена кривыми $y = \frac{1}{e^x} = e^{-x}$, $y=1$ и прямой $x=-1$.
Найдем точку пересечения кривых $y=e^{-x}$ и $y=1$, чтобы определить второй предел интегрирования:
$e^{-x} = 1 \implies -x=0 \implies x=0$.
Интегрирование производится по отрезку $[-1, 0]$. На этом отрезке для $x<0$ справедливо неравенство $e^{-x} > 1$, значит, кривая $y=e^{-x}$ находится выше прямой $y=1$.
Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{-1}^{0} (e^{-x} - 1) dx = [-e^{-x} - x]_{-1}^{0}$
$S = (-e^{-0} - 0) - (-e^{-(-1)} - (-1)) = (-1) - (-e^1 + 1) = -1 + e - 1 = e-2$.
Ответ: $e-2$

в) Фигура ограничена кривыми $y=e^x$, $x=2$ и $x+2y=2$. Выразим $y$ из последнего уравнения: $y = 1 - \frac{1}{2}x$.
Найдем точку пересечения кривых $y=e^x$ и $y=1-\frac{1}{2}x$, чтобы найти левую границу интегрирования:
$e^x = 1 - \frac{1}{2}x$.
Подбором находим корень $x=0$, так как $e^0=1$ и $1-\frac{0}{2}=1$. Поскольку функция $f(x)=e^x$ является строго возрастающей, а функция $g(x)=1-\frac{1}{2}x$ — строго убывающей, точка пересечения у них единственная.
Пределы интегрирования: от $x=0$ до $x=2$. На этом отрезке $e^x \ge 1-\frac{1}{2}x$.
Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{0}^{2} \left(e^x - \left(1 - \frac{1}{2}x\right)\right) dx = \int_{0}^{2} \left(e^x - 1 + \frac{x}{2}\right) dx = \left[e^x - x + \frac{x^2}{4}\right]_{0}^{2}$
$S = \left(e^2 - 2 + \frac{2^2}{4}\right) - \left(e^0 - 0 + \frac{0^2}{4}\right) = (e^2 - 2 + 1) - 1 = e^2 - 2$.
Ответ: $e^2-2$

г) Фигура ограничена кривыми $y=e^x$, $y=-e^x$ и прямыми $x=0$, $x=2$.
Пределы интегрирования заданы условием: от $x=0$ до $x=2$.
На отрезке $[0, 2]$ для любого $x$ справедливо неравенство $e^x > -e^x$, так как показательная функция $e^x$ всегда положительна.
Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{0}^{2} (e^x - (-e^x)) dx = \int_{0}^{2} 2e^x dx = [2e^x]_{0}^{2}$
$S = 2e^2 - 2e^0 = 2e^2 - 2(1) = 2e^2 - 2$.
Ответ: $2e^2-2$