Номер 21.55, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.55, страница 143.

21.55. a) $y = 2 - \sqrt{x}$, $y = \sqrt{x}$, $3x + 5y = 22$;

б) $y = \sqrt{x}$, $y = 3 - 2\sqrt{x}$, $4x - 5y - 21 = 0$.

а)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 2 - \sqrt{x}$, $y = \sqrt{x}$ и $3x + 5y = 22$, сначала найдем точки пересечения этих линий.

1. Найдем точку пересечения $y = 2 - \sqrt{x}$ и $y = \sqrt{x}$:

$2 - \sqrt{x} = \sqrt{x} \implies 2 = 2\sqrt{x} \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1$.

При $x=1$, $y = \sqrt{1} = 1$. Точка пересечения A(1, 1).

2. Найдем точку пересечения $y = \sqrt{x}$ и $3x + 5y = 22$:

Подставим $y = \sqrt{x}$ в уравнение прямой: $3x + 5\sqrt{x} - 22 = 0$.

Пусть $t = \sqrt{x}$, $t \ge 0$. Тогда $3t^2 + 5t - 22 = 0$. Решая квадратное уравнение, получаем $t=2$ или $t = -11/3$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t=2$.

$\sqrt{x} = 2 \implies x = 4$. При $x=4$, $y = \sqrt{4} = 2$. Точка пересечения B(4, 2).

3. Найдем точку пересечения $y = 2 - \sqrt{x}$ и $3x + 5y = 22$:

Подставим $y = 2 - \sqrt{x}$: $3x + 5(2 - \sqrt{x}) = 22 \implies 3x + 10 - 5\sqrt{x} = 22 \implies 3x - 5\sqrt{x} - 12 = 0$.

Пусть $t = \sqrt{x}$, $t \ge 0$. Тогда $3t^2 - 5t - 12 = 0$. Решая, получаем $t=3$ или $t = -4/3$. Подходит $t=3$.

$\sqrt{x} = 3 \implies x = 9$. При $x=9$, $y = 2 - \sqrt{9} = -1$. Точка пересечения C(9, -1).

Фигура является криволинейным треугольником с вершинами в точках A(1, 1), B(4, 2), C(9, -1). Площадь будем вычислять как сумму двух интегралов, разделив область по прямой $x=4$.

В интервале $x \in [1, 4]$ фигура ограничена сверху кривой $y = \sqrt{x}$ и снизу кривой $y = 2 - \sqrt{x}$.

$S_1 = \int_1^4 (\sqrt{x} - (2 - \sqrt{x})) dx = \int_1^4 (2\sqrt{x} - 2) dx = \left[ 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2x \right]_1^4 = \left[ \frac{4}{3}x\sqrt{x} - 2x \right]_1^4$

$S_1 = \left(\frac{4}{3} \cdot 4\sqrt{4} - 2 \cdot 4\right) - \left(\frac{4}{3} \cdot 1\sqrt{1} - 2 \cdot 1\right) = \left(\frac{32}{3} - 8\right) - \left(\frac{4}{3} - 2\right) = \frac{8}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{10}{3}$.

В интервале $x \in [4, 9]$ фигура ограничена сверху прямой $y = \frac{22-3x}{5}$ и снизу кривой $y = 2 - \sqrt{x}$.

$S_2 = \int_4^9 \left( \frac{22-3x}{5} - (2 - \sqrt{x}) \right) dx = \int_4^9 \left( \frac{12}{5} - \frac{3}{5}x + \sqrt{x} \right) dx = \left[ \frac{12}{5}x - \frac{3}{10}x^2 + \frac{2}{3}x\sqrt{x} \right]_4^9$

$S_2 = \left(\frac{12 \cdot 9}{5} - \frac{3 \cdot 9^2}{10} + \frac{2}{3} \cdot 9\sqrt{9}\right) - \left(\frac{12 \cdot 4}{5} - \frac{3 \cdot 4^2}{10} + \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4}\right)$

$S_2 = \left(\frac{108}{5} - \frac{243}{10} + 18\right) - \left(\frac{48}{5} - \frac{48}{10} + \frac{16}{3}\right) = \frac{153}{10} - \left(\frac{48}{10} + \frac{16}{3}\right) = \frac{153}{10} - \frac{152}{15} = \frac{459 - 304}{30} = \frac{155}{30} = \frac{31}{6}$.

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = \frac{10}{3} + \frac{31}{6} = \frac{20}{6} + \frac{31}{6} = \frac{51}{6} = \frac{17}{2}$.

Ответ: $\frac{17}{2}$.

б)

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sqrt{x}$, $y = 3 - 2\sqrt{x}$ и $4x - 5y - 21 = 0$.

1. Найдем точки пересечения линий:

$y = \sqrt{x}$ и $y = 3 - 2\sqrt{x} \implies \sqrt{x} = 3 - 2\sqrt{x} \implies 3\sqrt{x} = 3 \implies x = 1, y = 1$. Точка A(1, 1).

$y = \sqrt{x}$ и $4x - 5y - 21 = 0 \implies 4x - 5\sqrt{x} - 21 = 0$. Пусть $t = \sqrt{x} \ge 0$, тогда $4t^2 - 5t - 21 = 0$. Корни $t=3$ и $t=-7/4$. Подходит $t=3$, откуда $x=9, y=3$. Точка B(9, 3).

$y = 3 - 2\sqrt{x}$ и $4x - 5y - 21 = 0 \implies 4x - 5(3 - 2\sqrt{x}) - 21 = 0 \implies 4x + 10\sqrt{x} - 36 = 0 \implies 2x + 5\sqrt{x} - 18 = 0$. Пусть $t = \sqrt{x} \ge 0$, тогда $2t^2 + 5t - 18 = 0$. Корни $t=2$ и $t=-9/2$. Подходит $t=2$, откуда $x=4, y = 3 - 2\sqrt{4} = -1$. Точка C(4, -1).

Фигура ограничена сверху кривой $y = \sqrt{x}$. Нижняя граница состоит из двух частей, меняющихся в точке $x=4$.

В интервале $x \in [1, 4]$ нижняя граница - это $y = 3 - 2\sqrt{x}$.

$S_1 = \int_1^4 (\sqrt{x} - (3 - 2\sqrt{x})) dx = \int_1^4 (3\sqrt{x} - 3) dx = \left[ 3 \frac{x^{3/2}}{3/2} - 3x \right]_1^4 = \left[ 2x\sqrt{x} - 3x \right]_1^4$

$S_1 = (2 \cdot 4\sqrt{4} - 3 \cdot 4) - (2 \cdot 1\sqrt{1} - 3 \cdot 1) = (16 - 12) - (2 - 3) = 4 - (-1) = 5$.

В интервале $x \in [4, 9]$ нижняя граница - это прямая $y = \frac{4x - 21}{5}$.

$S_2 = \int_4^9 \left( \sqrt{x} - \frac{4x - 21}{5} \right) dx = \int_4^9 \left( \sqrt{x} - \frac{4}{5}x + \frac{21}{5} \right) dx = \left[ \frac{2}{3}x\sqrt{x} - \frac{2}{5}x^2 + \frac{21}{5}x \right]_4^9$

$S_2 = \left( \frac{2}{3} \cdot 9\sqrt{9} - \frac{2}{5} \cdot 9^2 + \frac{21}{5} \cdot 9 \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4} - \frac{2}{5} \cdot 4^2 + \frac{21}{5} \cdot 4 \right)$

$S_2 = \left( 18 - \frac{162}{5} + \frac{189}{5} \right) - \left( \frac{16}{3} - \frac{32}{5} + \frac{84}{5} \right) = \left( 18 + \frac{27}{5} \right) - \left( \frac{16}{3} + \frac{52}{5} \right) = \frac{117}{5} - \frac{236}{15} = \frac{351-236}{15} = \frac{115}{15} = \frac{23}{3}$.

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = 5 + \frac{23}{3} = \frac{15}{3} + \frac{23}{3} = \frac{38}{3}$.

Ответ: $\frac{38}{3}$.