Страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

22.5. Случайным образом выбирают одно из положительных решений неравенства $3^x \le 6 - 3x$. Найдите вероятность того, что:

а) оно меньше 0,1;

б) оно больше 0,999;

в) оно ближе к 0,4, чем к 0,3;

г) оно дальше от 0,7, чем от 0,8.

Сначала найдем множество всех положительных решений неравенства $3^x \le 6 - 3x$.

Рассмотрим две функции: $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 6 - 3x$. Функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси, а функция $g(x)$ — строго убывающей. Это означает, что графики этих функций могут пересечься не более чем в одной точке.

Найдем точку пересечения, решив уравнение $3^x = 6 - 3x$. Методом подбора легко заметить, что $x=1$ является корнем уравнения, так как $3^1 = 3$ и $6 - 3 \cdot 1 = 3$. Поскольку корень может быть только один, то $x=1$ — это единственная точка пересечения.

Так как функция $f(x)=3^x$ возрастает, а $g(x)=6-3x$ убывает, то при $x < 1$ будет выполняться $f(x) < g(x)$, то есть $3^x < 6 - 3x$, а при $x > 1$ будет $f(x) > g(x)$, то есть $3^x > 6-3x$. В точке $x=1$ функции равны. Следовательно, решением неравенства $3^x \le 6 - 3x$ является промежуток $(-\infty, 1]$.

По условию задачи, нас интересуют только положительные решения, то есть решения, удовлетворяющие условию $x > 0$. Пересекая множество решений $(-\infty, 1]$ с условием $x > 0$, получаем искомое множество положительных решений: $x \in (0, 1]$.

Случайный выбор одного из решений из промежутка $(0, 1]$ является задачей на геометрическую вероятность. Длина всего промежутка возможных решений (пространства элементарных исходов) равна $L = 1 - 0 = 1$. Вероятность того, что случайно выбранное число $x$ из этого промежутка попадет в некоторый подинтервал, равна отношению длины этого подинтервала к общей длине $L$. Так как $L=1$, вероятность численно равна длине подинтервала благоприятных исходов.

а) оно меньше 0,1;

Требуется найти вероятность того, что случайно выбранное решение $x \in (0, 1]$ удовлетворяет условию $x < 0,1$. Множество благоприятных исходов — это числа из интервала $(0; 0,1)$. Длина этого интервала равна $l_a = 0,1 - 0 = 0,1$. Вероятность этого события равна: $P_a = \frac{l_a}{L} = \frac{0,1}{1} = 0,1$.

Ответ: 0,1.

б) оно больше 0,999;

Требуется найти вероятность того, что случайно выбранное решение $x \in (0, 1]$ удовлетворяет условию $x > 0,999$. Множество благоприятных исходов — это числа из интервала $(0,999; 1]$. Длина этого интервала равна $l_b = 1 - 0,999 = 0,001$. Вероятность этого события равна: $P_b = \frac{l_b}{L} = \frac{0,001}{1} = 0,001$.

Ответ: 0,001.

в) оно ближе к 0,4, чем к 0,3;

Условие "число $x$ ближе к 0,4, чем к 0,3" математически записывается как неравенство с модулями: $|x - 0,4| < |x - 0,3|$. Это неравенство означает, что точка $x$ должна находиться правее середины отрезка $[0,3; 0,4]$. Координата середины этого отрезка: $c_1 = \frac{0,3 + 0,4}{2} = 0,35$. Таким образом, искомые значения $x$ должны удовлетворять условию $x > 0,35$. Учитывая, что $x \in (0, 1]$, множество благоприятных исходов — это интервал $(0,35; 1]$. Длина этого интервала равна $l_c = 1 - 0,35 = 0,65$. Вероятность этого события равна: $P_c = \frac{l_c}{L} = \frac{0,65}{1} = 0,65$.

Ответ: 0,65.

г) оно дальше от 0,7, чем от 0,8.

Условие "число $x$ дальше от 0,7, чем от 0,8" математически записывается как $|x - 0,7| > |x - 0,8|$. Это равносильно условию, что число $x$ находится ближе к 0,8, чем к 0,7. Это неравенство означает, что точка $x$ должна находиться правее середины отрезка $[0,7; 0,8]$. Координата середины этого отрезка: $c_2 = \frac{0,7 + 0,8}{2} = 0,75$. Таким образом, искомые значения $x$ должны удовлетворять условию $x > 0,75$. Учитывая, что $x \in (0, 1]$, множество благоприятных исходов — это интервал $(0,75; 1]$. Длина этого интервала равна $l_d = 1 - 0,75 = 0,25$. Вероятность этого события равна: $P_d = \frac{l_d}{L} = \frac{0,25}{1} = 0,25$.

Ответ: 0,25.

О22.6. В прямоугольнике $ABCD$ со сторонами $AB = 2$, $BC = 5$ случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена:

а) ближе к прямой $AB$, чем к прямой $CD$;

б) ближе к вершине $A$, чем к вершине $C$;

в) ближе к прямой $AB$, чем к прямой $BC$;

г) ближе к вершине $A$, чем к точке пересечения диагоналей.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение площади благоприятной области к общей площади пространства элементарных исходов. В данном случае, пространством является прямоугольник $ABCD$.

Зададим систему координат, поместив вершину $A$ в начало координат $(0, 0)$. Так как $AB = 2$ и $BC = 5$, вершины прямоугольника будут иметь следующие координаты: $A(0, 0)$, $B(2, 0)$, $C(2, 5)$ и $D(0, 5)$. Общая площадь прямоугольника $S_{ABCD}$ равна: $S_{ABCD} = AB \cdot BC = 2 \cdot 5 = 10$. Пусть $M(x, y)$ — случайно выбранная точка внутри прямоугольника, где $0 \le x \le 2$ и $0 \le y \le 5$.

Прямая $AB$ совпадает с осью Ox, ее уравнение $y=0$. Прямая $CD$ параллельна оси Ox, ее уравнение $y=5$. Расстояние от точки $M(x, y)$ до прямой $AB$ равно $d(M, AB) = y$. Расстояние от точки $M(x, y)$ до прямой $CD$ равно $d(M, CD) = 5-y$ (так как точка $M$ находится между прямыми). Условие, что точка $M$ расположена ближе к прямой $AB$, чем к прямой $CD$, записывается в виде неравенства: $d(M, AB) < d(M, CD)$ $y < 5 - y$ $2y < 5$ $y < 2.5$ Множество точек, удовлетворяющих этому условию, — это часть прямоугольника, для которой ордината $y$ меньше $2.5$. Эта область представляет собой прямоугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(2, 0)$, $(2, 2.5)$ и $(0, 2.5)$. Площадь этой благоприятной области $S_a = 2 \cdot 2.5 = 5$. Вероятность $P(a)$ равна отношению площади благоприятной области к площади всего прямоугольника: $P(a) = \frac{S_a}{S_{ABCD}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

Координаты вершин: $A(0, 0)$ и $C(2, 5)$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (в данном случае $A$ и $C$), является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. В нашем случае это серединный перпендикуляр к диагонали $AC$. Этот перпендикуляр проходит через центр прямоугольника (середину диагонали $AC$) и, следовательно, делит площадь прямоугольника на две равные части. Область, точки которой ближе к $A$, будет иметь площадь, равную половине площади всего прямоугольника. Площадь благоприятной области $S_б = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$. Вероятность $P(б)$ равна: $P(б) = \frac{S_б}{S_{ABCD}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

Прямая $AB$ задается уравнением $y=0$, а прямая $BC$ — уравнением $x=2$. Расстояние от точки $M(x, y)$ до прямой $AB$ равно $d(M, AB) = y$. Расстояние от точки $M(x, y)$ до прямой $BC$ равно $d(M, BC) = 2-x$ (так как $0 \le x \le 2$). Условие "ближе к $AB$, чем к $BC$" записывается как: $y < 2 - x$, что эквивалентно $x + y < 2$. Множество точек, удовлетворяющих этому условию, находится в прямоугольнике ниже прямой $x+y=2$. Эта прямая проходит через вершину $B(2,0)$ и точку $(0,2)$ на стороне $AD$. Благоприятная область — это прямоугольный треугольник с вершинами в точках $A(0,0)$, $B(2,0)$ и $E(0,2)$. Катеты этого треугольника равны $AE=2$ и $AB=2$. Площадь этого треугольника $S_в = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$. Вероятность $P(в)$ равна: $P(в) = \frac{S_в}{S_{ABCD}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

Вершина $A$ имеет координаты $(0, 0)$. Точка пересечения диагоналей $O$ является центром прямоугольника. Ее координаты — середина отрезка $AC$: $O(\frac{0+2}{2}, \frac{0+5}{2}) = O(1, 2.5)$. Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка. Условие "ближе к $A$, чем к $O$" означает, что расстояние $d(M, A)$ меньше расстояния $d(M, O)$. $d(M, A) < d(M, O)$. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней: $d^2(M, A) < d^2(M, O)$ $x^2 + y^2 < (x-1)^2 + (y-2.5)^2$ $x^2 + y^2 < x^2 - 2x + 1 + y^2 - 5y + 6.25$ $0 < -2x - 5y + 7.25$ $2x + 5y < 7.25$ Границей благоприятной области является прямая $2x + 5y = 7.25$. Найдем точки ее пересечения со сторонами прямоугольника. При $x=0$: $5y = 7.25 \Rightarrow y = 1.45$. Точка пересечения со стороной $AD$ — $(0, 1.45)$. При $x=2$: $2(2) + 5y = 7.25 \Rightarrow 4 + 5y = 7.25 \Rightarrow 5y = 3.25 \Rightarrow y = 0.65$. Точка пересечения со стороной $BC$ — $(2, 0.65)$. Благоприятная область — это часть прямоугольника, где $2x + 5y < 7.25$. Поскольку для точки $A(0,0)$ неравенство выполняется ($0 < 7.25$), эта область содержит вершину $A$. Область является трапецией с вершинами в точках $(0, 0)$, $(2, 0)$, $(2, 0.65)$ и $(0, 1.45)$. Высота трапеции равна $2$, а длины параллельных оснований (на сторонах $AD$ и $BC$) равны $1.45$ и $0.65$. Площадь трапеции $S_г = \frac{1.45 + 0.65}{2} \cdot 2 = 2.1$. Вероятность $P(г)$ равна: $P(г) = \frac{S_г}{S_{ABCD}} = \frac{2.1}{10} = 0.21$.
Ответ: $0.21$

22.7. В прямоугольнике $ABCD$ со сторонами $AB = 5$, $BC = 10$ случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена:

a) ближе к прямой $AB$, чем к прямой $AD$;

б) ближе к прямой $AD$, чем к каждой из прямых $AB$, $CD$;

в) ближе к вершине $A$, чем к вершинам $B$ и $C$;

г) ближе к прямой $AB$, чем к прямой $AC$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим вершину A прямоугольника в начало координат (0, 0). Поскольку стороны $AB=5$ и $BC=10$, расположим вершины следующим образом: A(0, 0), B(5, 0), C(5, 10) и D(0, 10).Площадь всего прямоугольника (пространства элементарных исходов) равна $S_{общ} = AB \cdot BC = 5 \cdot 10 = 50$.Вероятность события определяется как отношение площади благоприятной области $S_{бл}$ к общей площади $S_{общ}$.

а) ближе к прямой AB, чем к прямой AD;

Прямая AB в нашей системе координат является осью Ox, ее уравнение $y=0$. Прямая AD является осью Oy, ее уравнение $x=0$. Для любой точки M с координатами $(x, y)$ внутри прямоугольника расстояние до прямой AB равно $y$, а расстояние до прямой AD равно $x$.Условие, что точка расположена ближе к прямой AB, чем к прямой AD, записывается неравенством $y < x$.Нам нужно найти площадь той части прямоугольника, где $y < x$. Эта область ограничена прямыми $y=x$, $y=0$ (ось Ox) и $x=5$ (прямая BC).Данная область представляет собой прямоугольный треугольник с вершинами в точках A(0, 0), B(5, 0) и E(5, 5) (точка пересечения прямых $y=x$ и $x=5$).Площадь этого треугольника (благоприятная область) равна:$S_{бл} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12,5$.Вероятность равна отношению благоприятной площади к общей:$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{12,5}{50} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

б) ближе к прямой AD, чем к каждой из прямых AB, CD;

Расстояние от точки M(x, y) до прямых:

• до AD ($x=0$): $d_1 = x$
• до AB ($y=0$): $d_2 = y$
• до CD ($y=10$): $d_3 = 10-y$

Условие задачи записывается системой неравенств: $d_1 < d_2$ и $d_1 < d_3$.$x < y$ и $x < 10-y$.Это можно переписать как $y > x$ и $y < 10-x$.Благоприятная область ограничена прямыми $x=0$ (прямая AD), $y=x$ (биссектриса угла DAB) и $y=10-x$ (биссектриса угла ADC).Вершины этой треугольной области: A(0, 0), D(0, 10) и точка пересечения прямых $y=x$ и $y=10-x$. Найдем точку пересечения: $x = 10-x \implies 2x=10 \implies x=5$, тогда $y=5$. Точка пересечения - P(5, 5).Таким образом, благоприятная область - это треугольник с вершинами A(0, 0), D(0, 10) и P(5, 5).Основание этого треугольника AD лежит на оси Oy и его длина равна 10. Высота, проведенная из вершины P к основанию AD, равна x-координате точки P, то есть 5.Площадь благоприятной области:$S_{бл} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25$.Вероятность равна:$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) ближе к вершине A, чем к вершинам B и C;

Условие "ближе к вершине A, чем к B" означает, что точка M(x, y) лежит в полуплоскости, ограниченной серединным перпендикуляром к отрезку AB. Серединный перпендикуляр к AB (A(0,0), B(5,0)) - это прямая $x=2,5$. Условие $d(M,A) < d(M,B)$ эквивалентно $x < 2,5$.Условие "ближе к вершине A, чем к C" означает, что точка M(x, y) лежит в полуплоскости, ограниченной серединным перпендикуляром к отрезку AC. Найдем его уравнение из условия равенства квадратов расстояний:$d(M,A)^2 = d(M,C)^2 \implies x^2 + y^2 = (x-5)^2 + (y-10)^2$$x^2 + y^2 = x^2 - 10x + 25 + y^2 - 20y + 100$$0 = -10x - 20y + 125 \implies 10x + 20y = 125 \implies 2x + 4y = 25$.Условие $d(M,A) < d(M,C)$ эквивалентно $2x+4y < 25$, или $y < -\frac{1}{2}x + \frac{25}{4}$.Итак, благоприятная область внутри прямоугольника определяется системой неравенств:$0 \le x < 2,5$ и $0 \le y < -\frac{1}{2}x + \frac{25}{4}$.Площадь этой области можно найти с помощью интеграла:$S_{бл} = \int_0^{2,5} \left(-\frac{1}{2}x + \frac{25}{4}\right) dx = \left[-\frac{x^2}{4} + \frac{25x}{4}\right]_0^{2,5} = -\frac{(2,5)^2}{4} + \frac{25 \cdot 2,5}{4} = \frac{1}{4}(-6,25 + 62,5) = \frac{56,25}{4} = \frac{225/4}{4} = \frac{225}{16}$.Вероятность равна:$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{225/16}{50} = \frac{225}{16 \cdot 50} = \frac{9 \cdot 25}{16 \cdot 2 \cdot 25} = \frac{9}{32}$.
Ответ: $\frac{9}{32}$

г) ближе к прямой AB, чем к прямой AC.

Прямая AB - это ось Ox ($y=0$). Прямая AC проходит через A(0,0) и C(5,10), ее уравнение $y=2x$ или $2x-y=0$.Расстояние от точки M(x, y) до прямой AB равно $d(M,AB)=y$.Расстояние от точки M(x, y) до прямой AC равно $d(M,AC) = \frac{|2x-y|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{|2x-y|}{\sqrt{5}}$.Условие задачи: $y < \frac{|2x-y|}{\sqrt{5}}$.Множество точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, - это биссектрисы углов между ними. Уравнения биссектрис углов между AB и AC: $y = \pm \frac{2x-y}{\sqrt{5}}$.Для угла внутри прямоугольника (острый угол между AB и AC) уравнение биссектрисы: $\sqrt{5}y = 2x-y \implies (\sqrt{5}+1)y=2x \implies y = \frac{2}{\sqrt{5}+1}x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}x$.Область, где точки расположены ближе к прямой AB, находится между прямой AB ($y=0$) и этой биссектрисой.Таким образом, благоприятная область - это часть прямоугольника, где $0 \le y < \frac{\sqrt{5}-1}{2}x$.Эта область представляет собой треугольник с вершинами в A(0,0), B(5,0) и точке пересечения биссектрисы $y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$ со стороной BC ($x=5$).Найдем y-координату точки пересечения: $y = 5 \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.Площадь этого треугольника (благоприятная область):$S_{бл} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \left(5\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) = \frac{25(\sqrt{5}-1)}{4}$.Вероятность равна:$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{25(\sqrt{5}-1)/4}{50} = \frac{25(\sqrt{5}-1)}{4 \cdot 50} = \frac{\sqrt{5}-1}{8}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{5}-1}{8}$

22.8. Внутри окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8, взята точка. Найдите вероятность того, что она:

а) лежит внутри треугольника;

б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник;

в) лежит вне треугольника;

г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности.

Для решения задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события определяется как отношение площади благоприятствующей области к общей площади, в которой может оказаться точка. В данном случае, общая площадь — это площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника.

Сначала найдем все необходимые для решения величины.

Дан прямоугольный треугольник с катетами $a=6$ и $b=8$.

1. Гипотенуза $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

2. Площадь треугольника $S_{\triangle}$: $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$.

3. Радиус $R$ описанной окружности для прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы: $R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$. Площадь описанного круга, которая является общей площадью для расчета вероятностей, равна $S_{опис} = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$.

4. Радиус $r$ вписанной окружности для прямоугольного треугольника находится по формуле $r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{6+8-10}{2} = 2$. Площадь вписанного круга равна $S_{впис} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

Теперь, имея все площади, можно вычислить вероятности для каждого случая.

а) лежит внутри треугольника;
Вероятность этого события равна отношению площади треугольника (благоприятствующая область) к площади описанного круга (общая область).
$P_a = \frac{S_{\triangle}}{S_{опис}} = \frac{24}{25\pi}$.
Ответ: $\frac{24}{25\pi}$

б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник;
Вероятность этого события равна отношению площади вписанного круга к площади описанного круга.
$P_б = \frac{S_{впис}}{S_{опис}} = \frac{4\pi}{25\pi} = \frac{4}{25}$.
Ответ: $\frac{4}{25}$

в) лежит вне треугольника;
Это событие означает, что точка находится внутри описанной окружности, но за пределами треугольника. Площадь этой области равна разности площадей описанного круга и треугольника: $S_{опис} - S_{\triangle} = 25\pi - 24$.
Вероятность равна $P_в = \frac{S_{опис} - S_{\triangle}}{S_{опис}} = \frac{25\pi - 24}{25\pi} = 1 - \frac{24}{25\pi}$.
Ответ: $1 - \frac{24}{25\pi}$

г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности.
Благоприятствующая область — это площадь треугольника за вычетом площади вписанного в него круга: $S_{\triangle} - S_{впис} = 24 - 4\pi$.
Вероятность равна $P_г = \frac{S_{\triangle} - S_{впис}}{S_{опис}} = \frac{24 - 4\pi}{25\pi}$.
Ответ: $\frac{24 - 4\pi}{25\pi}$

22.9. На оси абсцисс случайным образом выбирают точку $B(x; 0)$, $-2 \le x \le 6$, и соединяют её с фиксированной точкой $A(4; 4)$. Какова вероятность того, что угол наклона отрезка $AB$ к положительному направлению оси абсцисс:

а) тупой;

б) меньше $45^\circ$;

в) острый;

г) больше $60^\circ$?

Даны точки $A(4; 4)$ и $B(x; 0)$, где $x$ — случайная величина, равномерно распределенная на отрезке $[-2, 6]$. Длина всего отрезка возможных значений $x$ равна $L = 6 - (-2) = 8$. Это будет знаменателем в формуле геометрической вероятности.

Угол наклона $\alpha$ отрезка $AB$ к положительному направлению оси абсцисс связан с угловым коэффициентом (тангенсом угла наклона) $k$ прямой $AB$ по формуле $k = \tan(\alpha)$. Вычислим угловой коэффициент: $k = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{4 - 0}{4 - x} = \frac{4}{4 - x}$. Заметим, что при $x=4$ угловой коэффициент не определен, что соответствует вертикальному положению отрезка и углу наклона $90^\circ$. Вероятность попадания в одну точку на непрерывном отрезке равна нулю.

а) тупой

Угол является тупым, если $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. В этом диапазоне тангенс угла отрицателен, то есть $k < 0$. Решим неравенство: $\frac{4}{4 - x} < 0$ Так как числитель $4 > 0$, для выполнения неравенства знаменатель должен быть отрицательным: $4 - x < 0 \implies x > 4$. Нам нужно найти, какая часть отрезка $[-2, 6]$ удовлетворяет условию $x > 4$. Это интервал $(4, 6]$. Длина этого интервала $L_a = 6 - 4 = 2$. Вероятность $P(a)$ равна отношению длины благоприятного интервала к длине всего отрезка: $P(a) = \frac{L_a}{L} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

б) меньше 45°

Угол меньше $45^\circ$ означает, что $0^\circ \le \alpha < 45^\circ$. В этом диапазоне тангенс угла удовлетворяет условию $0 \le \tan(\alpha) < \tan(45^\circ)$, то есть $0 \le k < 1$. Решим систему неравенств: $0 \le \frac{4}{4 - x} < 1$ 1) $\frac{4}{4 - x} \ge 0 \implies 4 - x > 0 \implies x < 4$. 2) $\frac{4}{4 - x} < 1$. Так как из первого неравенства мы знаем, что $4 - x > 0$, можно умножить обе части на $4 - x$, не меняя знака неравенства: $4 < 4 - x \implies x < 0$. Объединяя условия $x < 4$ и $x < 0$, получаем $x < 0$. Нам нужно найти, какая часть отрезка $[-2, 6]$ удовлетворяет условию $x < 0$. Это интервал $[-2, 0)$. Длина этого интервала $L_б = 0 - (-2) = 2$. Вероятность $P(б) = \frac{L_б}{L} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

в) острый

Угол является острым, если $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. В этом диапазоне тангенс угла положителен, то есть $k > 0$. Решим неравенство: $\frac{4}{4 - x} > 0$ Так как числитель $4 > 0$, знаменатель также должен быть положительным: $4 - x > 0 \implies x < 4$. Нам нужно найти, какая часть отрезка $[-2, 6]$ удовлетворяет условию $x < 4$. Это интервал $[-2, 4)$. Длина этого интервала $L_в = 4 - (-2) = 6$. Вероятность $P(в) = \frac{L_в}{L} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

г) больше 60°

Угол больше $60^\circ$ означает, что $60^\circ < \alpha < 180^\circ$. Это условие разбивается на два случая: 1) Угол острый: $60^\circ < \alpha < 90^\circ$. В этом случае $k > \tan(60^\circ)$, то есть $k > \sqrt{3}$. 2) Угол тупой: $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. В этом случае $k < 0$.

Рассмотрим случай 1: $\frac{4}{4 - x} > \sqrt{3}$. Для выполнения этого неравенства знаменатель $4-x$ должен быть положительным (иначе левая часть будет отрицательной), то есть $x < 4$. Умножим обе части на $4-x$: $4 > \sqrt{3}(4 - x)$ $4 > 4\sqrt{3} - x\sqrt{3}$ $x\sqrt{3} > 4\sqrt{3} - 4$ $x > \frac{4\sqrt{3} - 4}{\sqrt{3}} = 4 - \frac{4}{\sqrt{3}} = 4 - \frac{4\sqrt{3}}{3}$. Итак, для первого случая $4 - \frac{4\sqrt{3}}{3} < x < 4$. Длина этого интервала $L_{г1} = 4 - (4 - \frac{4\sqrt{3}}{3}) = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Рассмотрим случай 2: $k < 0$. Это условие для тупого угла, которое мы уже решили в пункте а). Благоприятный интервал для $x$ — это $(4, 6]$. Его длина $L_{г2} = 6 - 4 = 2$.

Суммарная длина благоприятных интервалов: $L_г = L_{г1} + L_{г2} = \frac{4\sqrt{3}}{3} + 2$. Вероятность $P(г)$ равна: $P(г) = \frac{L_г}{L} = \frac{2 + \frac{4\sqrt{3}}{3}}{8} = \frac{2}{8} + \frac{4\sqrt{3}}{3 \cdot 8} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2\sqrt{3}}{12} = \frac{3 + 2\sqrt{3}}{12}$.
Ответ: $\frac{3 + 2\sqrt{3}}{12}$

22.10. На оси ординат случайным образом выбирают точку $C(0; y)$, $0 \le y \le 8$, и соединяют её с фиксированной точкой $A(4; 4)$. Какова вероятность того, что угол наклона отрезка $AC$ к положительному направлению оси ординат:

a) тупой;

б) меньше $45^\circ$;

в) острый;

г) больше $60^\circ$?

Для решения задачи воспользуемся методами геометрической вероятности. Точка $C(0; y)$ выбирается на отрезке оси ординат длиной $L = 8 - 0 = 8$. Вероятность события определяется как отношение длины интервала значений $y$, благоприятствующих этому событию, к общей длине $L=8$.

Угол наклона $\alpha$ отрезка $AC$ к положительному направлению оси ординат — это угол между вектором $\vec{CA}$ и вектором, задающим положительное направление оси ординат, $\vec{j} = (0; 1)$.

Координаты вектора $\vec{CA}$ равны $(4-0; 4-y)$, то есть $\vec{CA} = (4; 4-y)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{j}$ можно найти по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{j}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{j}|} = \frac{4 \cdot 0 + (4-y) \cdot 1}{\sqrt{4^2 + (4-y)^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{4-y}{\sqrt{16 + (4-y)^2}}$

Диапазон возможных значений $y$ — это отрезок $[0; 8]$.

а) тупой;

Угол является тупым, если $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$. Это условие выполняется, когда $\cos \alpha < 0$.

$\frac{4-y}{\sqrt{16 + (4-y)^2}} < 0$

Знаменатель дроби всегда положителен, поэтому неравенство сводится к $4-y < 0$, откуда следует, что $y > 4$.

На отрезке $[0; 8]$ этому условию удовлетворяет интервал $(4; 8]$. Длина этого интервала $l_a = 8 - 4 = 4$.

Вероятность того, что угол будет тупым, равна:

$P(a) = \frac{l_a}{L} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) меньше 45°;

Угол меньше $45^\circ$, если $0^\circ \le \alpha < 45^\circ$. Поскольку функция косинуса убывает на отрезке $[0^\circ; 180^\circ]$, это условие эквивалентно $\cos \alpha > \cos 45^\circ$.

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Получаем неравенство: $\frac{4-y}{\sqrt{16 + (4-y)^2}} > \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Для того чтобы левая часть была положительной, необходимо, чтобы $4-y > 0$, то есть $y < 4$. При этом условии обе части неравенства положительны, и мы можем возвести их в квадрат:

$\frac{(4-y)^2}{16 + (4-y)^2} > \frac{1}{2}$

$2(4-y)^2 > 16 + (4-y)^2$

$(4-y)^2 > 16$

Извлекая корень, получаем $|4-y| > 4$. Так как мы рассматриваем случай $y<4$, то $4-y>0$, и модуль можно убрать: $4-y > 4$, что дает $-y > 0$ или $y < 0$.

Таким образом, для выполнения условия $y$ должен быть меньше 0. Однако по условию задачи $y \in [0; 8]$. Пересечение множеств $y < 0$ и $[0; 8]$ пусто. Длина благоприятствующего интервала $l_b = 0$.

Вероятность этого события равна:

$P(б) = \frac{l_b}{L} = \frac{0}{8} = 0$

Ответ: $0$

в) острый;

Угол является острым, если $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$. Это условие выполняется, когда $\cos \alpha > 0$ (случай $\alpha=90^\circ$ имеет нулевую вероятность).

$\frac{4-y}{\sqrt{16 + (4-y)^2}} > 0$

Это неравенство выполняется при $4-y > 0$, то есть $y < 4$.

На отрезке $[0; 8]$ этому условию удовлетворяет интервал $[0; 4)$. Длина этого интервала $l_c = 4 - 0 = 4$.

Вероятность того, что угол будет острым, равна:

$P(в) = \frac{l_c}{L} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) больше 60°;

Угол больше $60^\circ$, если $60^\circ < \alpha \le 180^\circ$. Это условие эквивалентно $\cos \alpha < \cos 60^\circ$.

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

Решаем неравенство: $\frac{4-y}{\sqrt{16 + (4-y)^2}} < \frac{1}{2}$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $y > 4$, то $4-y < 0$, и $\cos \alpha < 0$. Неравенство $\cos \alpha < \frac{1}{2}$ выполняется всегда, так как отрицательное число всегда меньше $1/2$. Следовательно, весь интервал $(4; 8]$ является благоприятствующим. Его длина равна $8 - 4 = 4$.

2. Если $y \le 4$, то $4-y \ge 0$, и $\cos \alpha \ge 0$. Обе части неравенства неотрицательны, можем возвести в квадрат:

$\frac{(4-y)^2}{16 + (4-y)^2} < \frac{1}{4}$

$4(4-y)^2 < 16 + (4-y)^2$

$3(4-y)^2 < 16$

$(4-y)^2 < \frac{16}{3}$

Извлекая корень, получаем $|4-y| < \frac{4}{\sqrt{3}}$. Поскольку $y \le 4$, то $4-y \ge 0$, и модуль можно убрать: $4-y < \frac{4}{\sqrt{3}}$, откуда $y > 4 - \frac{4}{\sqrt{3}}$.

В этом случае благоприятствующий интервал $(4 - \frac{4}{\sqrt{3}}; 4]$. Его длина равна $4 - (4 - \frac{4}{\sqrt{3}}) = \frac{4}{\sqrt{3}}$.

Общая длина благоприятствующего интервала для $y$ равна сумме длин из двух случаев: $l_d = 4 + \frac{4}{\sqrt{3}}$.

Вероятность этого события равна:

$P(г) = \frac{l_d}{L} = \frac{4 + \frac{4}{\sqrt{3}}}{8} = \frac{1}{2} + \frac{4}{8\sqrt{3}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{3+\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $\frac{3+\sqrt{3}}{6}$