Номер 22.5, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.5, страница 149.

22.5. Случайным образом выбирают одно из положительных решений неравенства $3^x \le 6 - 3x$. Найдите вероятность того, что:

а) оно меньше 0,1;

б) оно больше 0,999;

в) оно ближе к 0,4, чем к 0,3;

г) оно дальше от 0,7, чем от 0,8.

Сначала найдем множество всех положительных решений неравенства $3^x \le 6 - 3x$.

Рассмотрим две функции: $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 6 - 3x$. Функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси, а функция $g(x)$ — строго убывающей. Это означает, что графики этих функций могут пересечься не более чем в одной точке.

Найдем точку пересечения, решив уравнение $3^x = 6 - 3x$. Методом подбора легко заметить, что $x=1$ является корнем уравнения, так как $3^1 = 3$ и $6 - 3 \cdot 1 = 3$. Поскольку корень может быть только один, то $x=1$ — это единственная точка пересечения.

Так как функция $f(x)=3^x$ возрастает, а $g(x)=6-3x$ убывает, то при $x < 1$ будет выполняться $f(x) < g(x)$, то есть $3^x < 6 - 3x$, а при $x > 1$ будет $f(x) > g(x)$, то есть $3^x > 6-3x$. В точке $x=1$ функции равны. Следовательно, решением неравенства $3^x \le 6 - 3x$ является промежуток $(-\infty, 1]$.

По условию задачи, нас интересуют только положительные решения, то есть решения, удовлетворяющие условию $x > 0$. Пересекая множество решений $(-\infty, 1]$ с условием $x > 0$, получаем искомое множество положительных решений: $x \in (0, 1]$.

Случайный выбор одного из решений из промежутка $(0, 1]$ является задачей на геометрическую вероятность. Длина всего промежутка возможных решений (пространства элементарных исходов) равна $L = 1 - 0 = 1$. Вероятность того, что случайно выбранное число $x$ из этого промежутка попадет в некоторый подинтервал, равна отношению длины этого подинтервала к общей длине $L$. Так как $L=1$, вероятность численно равна длине подинтервала благоприятных исходов.

а) оно меньше 0,1;

Требуется найти вероятность того, что случайно выбранное решение $x \in (0, 1]$ удовлетворяет условию $x < 0,1$. Множество благоприятных исходов — это числа из интервала $(0; 0,1)$. Длина этого интервала равна $l_a = 0,1 - 0 = 0,1$. Вероятность этого события равна: $P_a = \frac{l_a}{L} = \frac{0,1}{1} = 0,1$.

Ответ: 0,1.

б) оно больше 0,999;

Требуется найти вероятность того, что случайно выбранное решение $x \in (0, 1]$ удовлетворяет условию $x > 0,999$. Множество благоприятных исходов — это числа из интервала $(0,999; 1]$. Длина этого интервала равна $l_b = 1 - 0,999 = 0,001$. Вероятность этого события равна: $P_b = \frac{l_b}{L} = \frac{0,001}{1} = 0,001$.

Ответ: 0,001.

в) оно ближе к 0,4, чем к 0,3;

Условие "число $x$ ближе к 0,4, чем к 0,3" математически записывается как неравенство с модулями: $|x - 0,4| < |x - 0,3|$. Это неравенство означает, что точка $x$ должна находиться правее середины отрезка $[0,3; 0,4]$. Координата середины этого отрезка: $c_1 = \frac{0,3 + 0,4}{2} = 0,35$. Таким образом, искомые значения $x$ должны удовлетворять условию $x > 0,35$. Учитывая, что $x \in (0, 1]$, множество благоприятных исходов — это интервал $(0,35; 1]$. Длина этого интервала равна $l_c = 1 - 0,35 = 0,65$. Вероятность этого события равна: $P_c = \frac{l_c}{L} = \frac{0,65}{1} = 0,65$.

Ответ: 0,65.

г) оно дальше от 0,7, чем от 0,8.

Условие "число $x$ дальше от 0,7, чем от 0,8" математически записывается как $|x - 0,7| > |x - 0,8|$. Это равносильно условию, что число $x$ находится ближе к 0,8, чем к 0,7. Это неравенство означает, что точка $x$ должна находиться правее середины отрезка $[0,7; 0,8]$. Координата середины этого отрезка: $c_2 = \frac{0,7 + 0,8}{2} = 0,75$. Таким образом, искомые значения $x$ должны удовлетворять условию $x > 0,75$. Учитывая, что $x \in (0, 1]$, множество благоприятных исходов — это интервал $(0,75; 1]$. Длина этого интервала равна $l_d = 1 - 0,75 = 0,25$. Вероятность этого события равна: $P_d = \frac{l_d}{L} = \frac{0,25}{1} = 0,25$.

Ответ: 0,25.