Номер 22.2, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.2, страница 148.

22.2. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $1 \le |x - 3| \le 5$. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства:

а) $|x| \le 2;$

б) $|x - 6| \le 2;$

в) $|x| \le 1;$

г) $1 \le |x - 6| \le 2.$

Для решения задачи сначала найдем множество решений $M$ неравенства $1 \le |x - 3| \le 5$. Это множество будет являться пространством элементарных исходов. Данное двойное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} |x - 3| \ge 1 \\ |x - 3| \le 5 \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно:

1) Неравенство $|x - 3| \ge 1$ равносильно совокупности двух неравенств:

$x - 3 \ge 1$ или $x - 3 \le -1$

$x \ge 4$ или $x \le 2$

Решением является объединение промежутков $(-\infty, 2] \cup [4, +\infty)$.

2) Неравенство $|x - 3| \le 5$ равносильно двойному неравенству:

$-5 \le x - 3 \le 5$

Прибавив 3 ко всем частям, получим:

$-2 \le x \le 8$

Решением является отрезок $[-2, 8]$.

Множество решений $M$ исходного неравенства является пересечением решений, полученных в пунктах 1) и 2):

$M = ((-\infty, 2] \cup [4, +\infty)) \cap [-2, 8] = [-2, 2] \cup [4, 8]$.

Это множество состоит из двух отрезков. В задачах на геометрическую вероятность мерой множества на прямой является его длина. Найдем общую длину $L(M)$ множества решений $M$:

$L(M) = (2 - (-2)) + (8 - 4) = 4 + 4 = 8$.

Теперь найдем вероятность того, что случайно выбранное из множества $M$ решение будет также являться решением каждого из предложенных неравенств. Вероятность $P$ будет находиться как отношение длины множества благоприятных исходов к длине всего множества исходов $L(M)$.

а) $|x| \le 2$

Решим это неравенство: $-2 \le x \le 2$. Обозначим множество решений как $A = [-2, 2]$.

Найдем пересечение множества $A$ с множеством $M$, чтобы определить, какая часть решений $M$ удовлетворяет этому условию:

$A \cap M = [-2, 2] \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [-2, 2]$.

Длина этого множества $L(A \cap M) = 2 - (-2) = 4$.

Искомая вероятность равна:

$P = \frac{L(A \cap M)}{L(M)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $|x - 6| \le 2$

Решим это неравенство: $-2 \le x - 6 \le 2$. Прибавим 6 ко всем частям: $4 \le x \le 8$. Обозначим множество решений как $B = [4, 8]$.

Найдем пересечение множества $B$ с множеством $M$:

$B \cap M = [4, 8] \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [4, 8]$.

Длина этого множества $L(B \cap M) = 8 - 4 = 4$.

Искомая вероятность равна:

$P = \frac{L(B \cap M)}{L(M)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $|x| \le 1$

Решим это неравенство: $-1 \le x \le 1$. Обозначим множество решений как $V = [-1, 1]$.

Найдем пересечение множества $V$ с множеством $M$:

$V \cap M = [-1, 1] \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [-1, 1]$.

Длина этого множества $L(V \cap M) = 1 - (-1) = 2$.

Искомая вероятность равна:

$P = \frac{L(V \cap M)}{L(M)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

г) $1 \le |x - 6| \le 2$

Решим это двойное неравенство, которое равносильно системе $\{_{|x - 6| \le 2}^{|x - 6| \ge 1}$.

1) $|x - 6| \ge 1 \Rightarrow x - 6 \ge 1$ или $x - 6 \le -1 \Rightarrow x \ge 7$ или $x \le 5$.

2) $|x - 6| \le 2 \Rightarrow -2 \le x - 6 \le 2 \Rightarrow 4 \le x \le 8$.

Пересечение этих решений дает множество $G = [4, 5] \cup [7, 8]$.

Найдем пересечение множества $G$ с множеством $M$:

$G \cap M = ([4, 5] \cup [7, 8]) \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [4, 5] \cup [7, 8]$.

Длина этого множества $L(G \cap M) = (5 - 4) + (8 - 7) = 1 + 1 = 2$.

Искомая вероятность равна:

$P = \frac{L(G \cap M)}{L(M)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$